При каких значениях параметра k произведение корней квадратного уравнения x2+3x+k2=7k−12 равно 0?

Question

Алгебра: При каких значениях параметра k произведение корней квадратного уравнения x2+3x+k2=7k−12 равно 0?

virina059 · Accepted Answer

Пусть точка C(0, m) - центр окружности (так как по условию центр лежит на оси OY, то первая координата равна 0)

Известно, что расстояние от центра до любой точки на окружности является константой и равно радиусу R окружности

Наша окружность проходит через точку 7 на оси OY, значит R = 7 - m

Также окружность проходит через точку 5 на оси OX, значит по теореме Пифагора $R = \sqrt{m^2+25}$

Приравняем это и получим уравнение:

$7 - m = \sqrt{m^2+25}\\$

Возвёдём в квадрат и решим уравнение:

$(7-m)^2 = (\sqrt{m^2+25})^2\\\\49 - 14m + m^2 = m^2 +25\\\\14m = 49 - 25\\14m = 24\\\\m = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

Координата центра окружности - $C(0,\;\frac{12}{7})$

Радиус окружности: $R = 7 -m = 7 - \frac{12}{7} = \frac{49-12}{7} = \frac{37}{7}$

Уравнение окружности выглядит следующим:

(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2

Подставим наши числа:

$(x - 0)^2 + (y - \frac{12}{7})^2 = (\frac{37}{7})^2 \\\\x^2 + (y - \frac{12}{7})^2 = \frac{1369}{49}$

ответ: $x^2 + (y - \frac{12}{7})^2 = \frac{1369}{49}$