сначала применим к правой части формулу приведения:
cos 2x = -cos x
cos 2x + cos x = 0
2cos²x - 1 + cos x = 0
Пусть cos x = t, причём |t| ≤ 1
2t² + t - 1 = 0
D = 1 + 8 = 9
t1 = (-1 - 3) / 4 = -1
t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2
cos x = -1 или cos x = 1/2
x = π + 2πn,n∈Z x = ±arccos 1/2 + 2πk,k∈Z
x = ±π/3 + 2πk,k∈Z
Данные решения могут совпадать, что разумеется нам не надо, поскольку тогда придётся писать что-то одно. В данном случае не совпадают, и это хорошо видно по числовой окружности, нанеся на неё точки π/3 и π видно, что решения никогда не наложатся одно на другое.
Поэтому, произведём отбор корней по обоим формулам.
Отберём корни из первого решения. Для этого впихнём данное решение в указанный промежуток и решим двойное неравенство относительно n:
3π/2 ≤ π + 2πn ≤ 5π/2
π/2 ≤ 2πn ≤ 3π/2
Разделим на 2п:
1/4 ≤n≤ 3/4
Видим, что никаких целых n нет на данном интервале. Значит, данное решение мы отбрасываем.
Осталось второе решение.
Также вобьём его в указанный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно k, но разобъём данное объединённое решение ещё на два и провернём с каждым подобную операцию:
3π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 5π/2
7π/6 ≤ 2πk ≤ 13π/6
Разделим данное неравенство на 2π:
7/12 ≤ k ≤ 13/12
Замечаем, что на данном промежутке единственное целое значение k - это k = 1. Подставив его в общую формулу вместо k, получим тот самый корень, который нам требуется:
k = 1 x = π/3 + 2π = 7π/3 - это нужный отобранный корень
Теперь проверим. есть ли ещё такие корни.
Для этого впихнём в данный промежуток второй вариант решения ±π/3 + 2πk, это -π/3 + 2πk:
3π/2 ≤ -π/3 + 2πk ≤ 5π/2
11π/6 ≤ 2πk ≤ 17π/6
11/12 ≤ k ≤ 17/12
По неравенству видно, что есть опять же только единственное значение k - это 1. Подставив его в эту формулу получим наш второй корень:
k = 1 x = -π/3 + 2π = 5π/3
Таким образом, ответ пишем таким образом:
а)π + 2πn,n∈Z; ±π/3 + 2πk,k∈Z
б)7π/3; 5π/3
Под буквой б - наши отобранные корни на заданном промежутке. Задача выполнена.
Объяснение:
y = |x-4| + |x+1|
Итак, имеем функцию с двумя модулями. Под модулями стоят выражения вида g(x)=x-a
На промежутке (a; +∞), g(x) > 0
На промежутке (-∞; a), g(x) < 0
При x=a, g(x) = 0
Этот анализ понять, что наш график будет иметь три состояния, когда оба модуля раскрываются со знаком +, когда оба модуля раскрываются со знаком -, и когда они раскроются с разными знаками
Рассмотрим случай, когда -1 > x. Оба подмодульных выражения примут отрицательные значения. Модули раскроются со знаком минус. y = -(x-4) - (x+1) = -2x + 3Рассмотрим случай, когда -1 <= x < 4. Тогда первый модуль откроется со знаком -, а второй со знаком плюс. y = -(x-4) + x + 1 = 5Рассмотрим случай, когда 4 <= x. Тогда оба модуля откроются со знаком плюс. y = x - 4 + x + 1 = 2x - 3Имеем 3 промежутка, на каждом из которых своя прямая. Такой график иногда называют "корыто". Две боковые прямые образуют "стенки", а "дно" образовано горизонтальной линией.
Осталось построить вышеперечисленные 3 функции, но учитывая их промежуток. График приложен.