Хорошо, давайте разберемся, как исследовать монотонность функции y=x^5.
Для начала, вспомним определение монотонности функции. Функция считается монотонно возрастающей на каком-то интервале, если при увеличении значения аргумента, значение функции также увеличивается. Аналогично, функция считается монотонно убывающей, если при увеличении значения аргумента, значение функции убывает.
Теперь, чтобы исследовать монотонность функции y=x^5, нам нужно проанализировать производную этой функции. Производная функции показывает, как меняется значение функции с изменением значения аргумента.
Давайте найдем производную функции y=x^5. Для этого применим правило дифференцирования для степенной функции. Рассмотрим функцию y=x^n, где n - некоторое число. Тогда производная этой функции будет равна произведению n на x^(n-1). В случае нашей функции y=x^5, получаем:
y' = 5 * x^(5-1)
= 5 * x^4
Теперь у нас есть производная функции y=x^5, которую обозначим как y' = 5 * x^4.
Для того чтобы исследовать монотонность функции, мы должны найти, когда производная положительна, когда она отрицательна и когда она равна нулю.
1) Если производная положительна на каком-то интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале.
2) Если производная отрицательна на каком-то интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале.
3) Если производная равна нулю в какой-то точке, то функция может иметь экстремум (минимум или максимум) в этой точке.
Теперь, чтобы найти интервалы, на которых производная положительна, отрицательна или равна нулю, мы можем решить неравенства y' > 0, y' < 0 и y' = 0.
1) y' > 0:
5 * x^4 > 0
x^4 > 0
Здесь мы используем факт, что 5 > 0 и для положительного числа x^4 > 0. Таким образом, производная положительна на любом значении x, кроме x=0.
2) y' < 0:
5 * x^4 < 0
x^4 < 0
Здесь мы замечаем, что производная не может быть отрицательной, так как x^4 всегда больше или равно нулю. Следовательно, производная не меньше нуля на всей области определения функции.
3) y' = 0:
5 * x^4 = 0
Решив это уравнение, получаем только одно решение x=0.
Таким образом, производная функции y=x^5 положительна во всех точках, кроме x=0.Это означает, что функция y=x^5 монотонно возрастает на всей области определения.
Мы заключаем, что функция y=x^5 монотонно возрастает.
