Question

Найти дифференциалы функций 1) у=х(х-3)
2) у= корень х^2-3х (все под корнем)
Найти частные производные второго порядка и полный дифференциал
Z=x^2/y

Answer 1

1) $y = x\cdot(x-3) = x^2 - 3x$

$\mathrm{d}y = y'\cdot\mathrm{d}x$

$y' = (x^2 - 3x)' = 2x-3$

$\mathrm{d}y = (2x-3)\cdot\mathrm{d}x$

2) $y = \sqrt{x^2 - 3x}$

$y' = (\sqrt{x^2 - 3x})' = \frac{(x^2 - 3x)'}{2\cdot\sqrt{x^2 - 3x}} = \frac{2x-3}{2\cdot\sqrt{x^2 - 3x}}$

$\mathrm{d}y = \frac{2x-3}{2\cdot\sqrt{x^2 - 3x}}\cdot\mathrm{d}x$

3) $z = \frac{x^2}{y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -x^2\cdot\frac{1}{y^2} = -\frac{x^2}{y^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} (\frac{2x}{y}) = \frac{2}{y}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial }{\partial y}(-\frac{x^2}{y^2}) = -x^2\cdot(-2)\cdot\frac{1}{y^3} = \frac{2x^2}{y^3}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial x} (-\frac{x^2}{y^2} )= -\frac{2x}{y^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial }{\partial y} (\frac{2x}{y}) = -\frac{2x}{y^2}$

$\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\mathrm{d}y =$

$= \frac{2x}{y}\cdot\mathrm{d}x - \frac{x^2}{y^2}\cdot\mathrm{d}y$