Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a1=f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4=f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a1; a2; a3; a4;…, следовательно, a1 — первый член последовательности;
a2 - второй член последовательности;
a3 - третий член последовательности;
a4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: an=f (n) или {an}.
Существуют следующие задания числовой последовательности:
1) Словесный Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным
Решение. Замечаем, что 1=12; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
Решение.
a1=3+2∙(1+1)=3+4=7;
a2=3+2∙(2+1)=3+6=9;
a3=3+2∙(3+1)=3+8=11;
a4=3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . ответ: ak=2k-1.
3) Рекуррентный Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {an},
если a1=7; an+1 = 5+an.
Решение.
a2 =5+a1=5+7=12;
a3 =5+a2=5+12=17;
a4 =5+a3=5+17=22. ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {bn},
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.
Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (an+1>an) и убывающей, если ее члены убывают (an+1 Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.
D=b^2-4ac
D=36+64=100
t1=(6+10)/2=8
t2=(6-10)/2=-2
x^2-7=8. x^2=15
x^2-7=-2 x^2=5
ответ:
2)Пусть (x-3)^2=t,тогда t^2-5t+4=0
D=25-16=9
t1=(5+3)/2=4
t2=(5-3)/2=1
(x-3)^2=4 x^2-6x+5=0
D=36-20=16
X1=(6+4)/2=5
X2=(6-4)/2=1
(x-3)^2=1. x^2-6x+8=0
D=36-32=4
X3=(6+2)/2=4
X4=(6-2)/2=2
ответ:5,1,4,2
3)Пусть x^2+2x=t,тогда t^2-27t+72=0
D=729-288=441
t1=(27+21)/2=24
t2=(27-21)/2=3
x^2+2x=24 x^2+2x-24=0 D=4+96=100
X1=(-2+10)/2=4
X2=(-2-10)/2=-6
x^2+2x=3 x^2+2x-3=0 D=4+12=16
X3=(-2+4)/2=1
X4=(-2-4)/2=-3
ответ:4,-6,1,-3