г) {3y + z = x ⇔ { x = 3y + z {x - z = y ⇔ { x = y + z {x² - 3x = 5+ z² 3y + z = y + z 3y - y = z - z 2y = 0 y=0 ⇒ x = z x²- 3x = 5 +x² x² - 3x - x² = 5 -3x= 5 x = 5 : (-3) х = - 1 ²/₃ z = - 1 ²/₃ ответ : ( - 1 ²/₃ ; 0 ; - 1 ²/₃ ) .
Турист, вышедший из пункта А : Скорость V₁ = x км/ч Расстояние S₁ = 27 - 12 = 15 км Время в движении t₁ = 15/x часов Время на остановку t ост. = 1/2 ч. Время, затраченное на путь до места встречи: t в. = t₁ + t ост. = 15/x + 1/2 = (15*2 + 1*х)/2х = (30+х)/2х часов
Турист, вышедший из пункта В : Скорость V₂ = V₁ - 2 = (x - 2) км/ч Расстояние S₂ = 12 км Время, затраченное на путь до места встречи: t в. = t₂ = 12/(х - 2)
Уравнение: (30 +х )/ 2х = 12/(х - 2) знаменатели дробей не должны быть равны 0 (на 0 делить нельзя) : 2х ≠ 0 ; х≠0 х - 2≠0; х≠2 у нас получилась пропорция ( умножаем по правилу "креста" ) : (30 +х)(х - 2) = 2х * 12 30х + 30*(-2) + х*х + х *(-2) = 24х 30х - 60 + х² - 2х = 24х х² + (30х - 2х) - 60 = 24х х² + 28х - 60 = 24х х² + 28х - 60 - 24х = 0 х² + (28х - 24х) - 60 = 0 х² + 4х - 60 = 0 решим квадратное уравнение через дискриминант [ D = b² - 4ac ] a=1 ; b = 4 ; c = - 60 D = 4² - 4*1*(-60) = 16 + 240 = 256 = 16² D>0 два корня уравнения [ x₁,₂ = ( -b ⁻₊ √D) / 2a ] х₁ = ( - 4 - 16)/(2*1) = -20/2 = - 10 не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной величиной. х₂ = ( - 4 + 16)/(2*1) = 12/2 = 6 (км/ч) V₁ V₂ = 6 - 2 = 4 (км/ч)
ответ : 4 км/ч скорость туриста, шедшего из пункта В .
{ y + z = 5 ⇒ z = 5 - y
{ xz = 3
(y-1)(5-y) = 3
5y - y² - 5 +y = 3
-y² + 6y - 5 - 3 = 0
- (y² - 6y + 8) = 0 |*(-1)
y² - 6y + 8 = 0
D = (-6)² - 4*1*8 = 36 - 32 = 4 = 2²
D> 0 - два корня уравнения
у₁ = (6 - 2)/(2*1) = 4/2 = 2
у₂ = (6 + 2)/(2*1) = 8/2 = 4
х₁ = 2 - 1 = 1
х₂ = 4 - 1 = 3
z₁ = 5 - 2 = 3
z₂ = 5 - 4 = 1
ответ : ( 1 ; 2 ; 3) , ( 3; 4 ; 1)
б)
{x + y = - 3 ⇒ x = - (y + 3)
{y - z = 1 ⇒ z = y - 1
{x² + z² = 10
( - (y + 3) )² + (y - 1)² = 10
y² + 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 10
2y² + 4y + 10 = 10
2y² + 4y = 10 - 10
2y(y + 2) = 0
2y = 0
y₁ = 0
y + 2 = 0
y₂ = - 2
x₁ = - (0 + 3) = - 3
x₂ = - ( - 2 + 3) = - 1
z₁ = 0 - 1 = - 1
z₂ = - 2 - 1 = - 3
ответ : ( - 3 ; 0; - 1) , ( - 1; - 2; - 3)
в)
{x² + y² + z² = 35
{x + y = 2 ⇒ y = 2 - x
{x - z = 4 ⇒ z = x - 4
x² + (2-x)² + (x-4)² = 35
x² + 4 - 4x + x² + x² - 8x + 16 = 35
3x² - 12x + 20 = 35
3x² - 12x + 20 - 35 = 0
3x² - 12x - 15 = 0
3(x² - 4x - 5) = 0 |:3
х² - 4х - 5 = 0
D = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36 = 6² ; D>0
x₁ = ( 4 - 6)/(2*1) = - 2/2 = -1
x₂ = (4 + 6)/(2*1) = 10/2 = 5
y₁ = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3
y₂ = 2 - 5 = - 3
z₁ = - 1 - 4 = - 5
z₂ = 5 - 4 = 1
ответ : ( - 1 ; 3 ; - 5) , ( 5; - 3 ; 1 )
г)
{3y + z = x ⇔ { x = 3y + z
{x - z = y ⇔ { x = y + z
{x² - 3x = 5+ z²
3y + z = y + z
3y - y = z - z
2y = 0
y=0 ⇒ x = z
x²- 3x = 5 +x²
x² - 3x - x² = 5
-3x= 5
x = 5 : (-3)
х = - 1 ²/₃
z = - 1 ²/₃
ответ : ( - 1 ²/₃ ; 0 ; - 1 ²/₃ ) .