Question

1)f(x) = sin x/3 , t= 6π 2) f(x) = tg πx/5 , t= 5
покажите , что число Т есть периодом функции​

Answer 1

Чтобы показать, что число T является периодом функции, мы должны доказать, что для любого x выполняется равенство f(x) = f(x + T).

Давайте начнем с первой функции f(x) = sin(x/3) и числа T = 6π.

Для доказательства, мы должны показать, что sin(x/3) = sin((x+T)/3) для любого x.

Раскроем скобки в выражении sin((x+T)/3):

sin((x+T)/3) = sin(x/3 + T/3)

Заметим, что T/3 = 6π/3 = 2π, поэтому можно записать:

sin(x/3 + T/3) = sin(x/3 + 2π)

Поскольку синус является периодической функцией с периодом 2π, то можно написать:

sin(x/3 + 2π) = sin(x/3)

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = sin(x/3) имеет период T = 6π.

Теперь рассмотрим вторую функцию f(x) = tan(πx/5) и число T = 5.

По аналогии с предыдущим примером, чтобы доказать, что T является периодом функции, мы должны показать, что tan(πx/5) = tan(π(x+T)/5) для любого x.

Раскроем скобки в выражении tan(π(x+T)/5):

tan(π(x+T)/5) = tan(πx/5 + Tπ/5)

Заметим, что Tπ/5 = 5π/5 = π, поэтому можно записать:

tan(πx/5 + Tπ/5) = tan(πx/5 + π)

Так как тангенс является периодической функцией с периодом π, то можно написать:

tan(πx/5 + π) = tan(πx/5)

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = tan(πx/5) имеет период T = 5.

Таким образом, мы показали, что числа 6π и 5 являются периодами функций f(x) = sin(x/3) и f(x) = tan(πx/5) соответственно.