Question

Приведите пример однородного симметрического многочлена с двумя переменными степени n, если: 1) n = 1; 2) n = 2; 3) n= 3; 4) n = 5.​

Answer 1

Ну, давайте пошагово решим эту задачу.

1) Когда n = 1, необходимо найти однородный симметрический многочлен степени 1 с двумя переменными.
Однородный многочлен выглядит так: P(x, y) = ax + by, где a и b - коэффициенты.
Здесь нет никаких ограничений на значения a и b, поэтому пример такого многочлена может быть, например, P(x, y) = x + y.

2) Когда n = 2, нужно найти однородный симметрический многочлен степени 2 с двумя переменными.
Он будет иметь вид: P(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2.
И снова, нет ограничений на значения коэффициентов. Примером такого многочлена может быть, например, P(x, y) = x^2 + 2xy + y^2.

3) Когда n = 3, нужно найти однородный симметрический многочлен степени 3 с двумя переменными.
Он будет иметь вид: P(x, y) = ax^3 + b(x^2)(y) + c(xy^2) + dy^3.
Аналогично, нет ограничений на значения коэффициентов. Пример такого многочлена может быть, например, P(x, y) = x^3 + 3(x^2)(y) + 3(xy^2) + y^3.

4) Когда n = 5, нужно найти однородный симметрический многочлен степени 5 с двумя переменными.
Он будет иметь вид: P(x, y) = ax^5 + b(x^4)(y) + c(x^3)(y^2) + d(x^2)(y^3) + e(xy^4) + fy^5.
Снова, нет ограничений на значения коэффициентов. Примером такого многочлена может быть, например, P(x, y) = x^5 + 5(x^4)(y) + 10(x^3)(y^2) + 10(x^2)(y^3) + 5(xy^4) + y^5.

В каждом примере, выбор конкретных значений коэффициентов a, b, c, d, e и f может быть произвольным, главное, чтобы итоговый многочлен был однородным, симметричным и имел заданную степень для переменных x и y.