Question

Для различных натуральных чисел a и b докажите неравенство a²-1/b + b²-1/a больше или равно a + b​

Answer 1

Для доказательства данного неравенства, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами неравенств и алгебраическими преобразованиями.

Дано неравенство: a²-1/b + b²-1/a >= a + b

Предлагаю решить это неравенство в несколько шагов:

Шаг 1: Приведение слагаемых к общему знаменателю.
Перепишем исходное неравенство:

(a²-1)/b + (b²-1)/a >= a + b

Приведем слагаемые к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на а, а второе на b:

(a²-1)/b * a/a + (b²-1)/a * b/b >= a + b

Теперь у нас получились слагаемые с общим знаменателем, которым является ab:

(a²a-1a)/ab + (b²b-1b)/ab >= a + b

(a³-a)/ab + (b³-b)/ab >= a + b

Шаг 2: Сокращение слагаемых.

Для каждого слагаемого числитель и знаменатель можно сократить на a или b соответственно:

(a³-a)/(ab) + (b³-b)/(ab) >= a + b

Шаг 3: Объединение слагаемых.

Сложим числители слагаемых и оставим общий знаменатель:

(a³ - a + b³ - b)/(ab) >= a + b

Шаг 4: Упрощение выражения.

(a³ + b³ - (a + b))/(ab) >= a + b

Шаг 5: Разделение дроби и алгебраические преобразования.

Перепишем исходное неравенство:

(a³ + b³ - (a + b))/(ab) >= a + b

Разделим числитель на знаменатель:

(a³ + b³)/(ab) - (a + b)/(ab) >= a + b

Упростим дробь в числителе:

((a + b)(a² - ab + b²))/(ab) - (a + b)/(ab) >= a + b

Теперь у нас есть общий знаменатель, который равен ab, поэтому можно объединить слагаемые:

((a + b)(a² - ab + b²) - (a + b))/(ab) >= a + b

Упростим числитель:

(a + b)(a² - ab + b² - 1)/(ab) >= a + b

Шаг 6: Сокращение слагаемых.

Мы видим, что в числителе присутствует выражение (a + b), которое можно сократить:

(a² - ab + b² - 1)/(ab) >= 1

Шаг 7: Упрощение и приведение к общему знаменателю.

Умножим оба выражения на ab:

(a² - ab + b² - 1) >= ab

Шаг 8: Раскрытие скобок и упрощение.

Раскроем скобки слева:

a² - ab + b² - 1 >= ab

Шаг 9: Переносим все слагаемые на одну сторону.

a² - ab + b² - ab - 1 - ab >= 0

a² - 3ab + b² - 1 >= 0

Шаг 10: Раскладываем квадратный трехчлен на множители.

(a - b)² - 1 >= 0

Шаг 11: Перепишем выражение получившегося квадратного трехчлена.

((a - b) + 1)((a - b) - 1) >= 0

Шаг 12: Получаем два слагаемых и упрощаем.

(a - b + 1)(a - b - 1) >= 0

Так как a и b - натуральные числа, a - b + 1 и a - b - 1 тоже являются натуральными числами. Значит, их произведение неотрицательно.

Шаг 13: Вывод.

Таким образом, мы доказали, что (a - b + 1)(a - b - 1) >= 0. Это означает, что исходное неравенство a²-1/b + b²-1/a >= a + b также верно.