Question

Исследуйте последовательность xn= 2n^2-1/ n^2 на ограниченность и монотонность.

Answer 1

$x_n=2n^2-\dfrac1{n^2}$

Ограниченность: 
$\lim\limits_n2n^2-\dfrac1{n^2}=\lim\limits_n2n^2-\lim\limits_n\dfrac1{n^2}=+\infty-0=+\infty$
$2n^2-\dfrac1{n^2}\geqslant 2\cdot1^2-\dfrac1{1^2}=1$
Последовательность ограничена снизу и не ограничена сверху

Монотонность:
$x_{n+1}-x_n=2(n+1)^2-\dfrac1{(n+1)^2}-2n^2+\dfrac1{n^2}=4n+2+\dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\\ x_{n+1}-x_n\ \textgreater \ 0\\ x_{n+1}\ \textgreater \ x_n$
Последовательность монотонно возрастает