Question

найти область определения функций .Хотя бы одну (развернуто).

)

Answer 1

См в объяснение, это полезно

Объяснение:

Ну давай начнем с того, что вообще такое область определения.

Область определения - область значений x (или любой другой независимой переменной), при котором функция имеет смысл, то есть имеет значение y

Функция не имеет значения (и значений тоже), когда, например, присутствует деление на 0, а так же, когда подкоренное выражение отрицательно (но последнее - только в рамках действительных чисел, но сейчас мы рассматриваем задачу в этих рамках, иначе это было-бы указано).  Это мы сейчас и будем использовать.

11. Давай сразу посмотрим на знаменатели, остальное сейчас не имеет значения

$\sqrt{4-x^{2} }$ не должен быть равен 0. Мы можем повлиять только на х, что и будем делать.

Сначала предположим, в каком случае знаменатель будет равен 0

Квадратный корень равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю, тогда

$\sqrt{4-x^{2} }=0$ когда $4-x^{2}=0$, => (следовательно)  $x^{2} = -4$, а такого не бывает. Этот параметр не задает никаких условий к области определения.

Тогда, посмотрим на другое условие - подкоренное выражение не должно быть отрицательным, значит $4-x^{2}$ должен быть больше или равен нулю, значит, $4-x^{2}\geq 0$, следовательно, $-x^{2} \geq -4$ => $x^{2} \leq 4$ => $\sqrt{x} \leq \sqrt{4}$ => $x\leq 2$ и $x\geq -2$ (это - исключительно совокупность)

 Значит, из этого знаменателя мы можем вынести, что $x\leq 2$ и $x\geq -2$ (если-бы было еще что-то, то данное условие вошло бы с ним в еще одну совокупность)

Посмотрим тогда на знаменатель другой дроби

Здесь все проще - x-1

Тут нет квадратного корня, поэтому - единственное, на что можно обратить внимание - это то, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Предположим, что знаменатель равен нулю, тогда x-1=0 => x=1

Так как при этом значении х функция утрачивает смысл, то это значение надо исключить из области определения => $x\neq 1$

Итак, мы имеем два условия, при соблюдении которых функция будет иметь смысл- $x\neq 1$ и  $x\leq 2$ и $x\geq -2$ (последнее- совокупность). При этом, если соблюсти только одно из условий - функция все равно не будет иметь значений. Значит, это тоже будет совокупностью.

Если надо, можно записать в таком виде - $x=\left[\begin{array}{ccc}x\neq 1\\x\leq 2&x\geq -2\end]$ (нижнюю строку надо тоже сделать совокупностью, я не могу это сделать на компьютере)

Или так - x ∈ [-2;0)∩(0;2]

В целом, действовать можно по такой схеме - находим знаменатели дробей, смотрим, есть ли в них переменная, если есть - то находим область значений этой переменной, при которых значение знаменателя не будет равно нулю (на промежуточном этапе можно в виде $x\neq$ n). Потом - ищем корни, и находим область определения, при котором подкорное выражение неотрицательное. Потом - объединяем полученные условия в совокупность - и готово