Несколько . 1) зная, что sin a = 4/5, cos b = -15/17, pi/2 < a < pi, pi/2 < b < pi, найдите значение выражения: sin ( a + b ) 2) sin (pi/3 + arccos 3/5) 3) sin 5x•cos 3x - cos 5x•sin 3x > 1/2 4) 2sin pi/8 • cos pi/8 5) 2 cos (2pi + x) + sin (pi/2 + x) = 3
Дано: ∠3 = 25°
Шаг 1: Рисуем данную информацию в виде диаграммы.
A _______ B
| |
E _______ F
| |
C _______ D
Шаг 2: Обратим внимание на пересекающие прямые, AB и CD. Так как они параллельные, то углы, образованные ими с прямой EF, будут равны. Поэтому ∠1 = ∠5 и ∠2 = ∠6.
Шаг 3: Для нахождения ∠1 и ∠5 обратим внимание на две разносторонние прямые AB и EF. Трансверсальная прямая EF образует пучок углов в точке F (внутри рамки).
Из свойства, что сумма углов пучка равна 360°, мы можем сделать следующее:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
В данном случае, мы знаем, что ∠3 = 25°, а также, что ∠1 = ∠5 и ∠2 = ∠6.
Заменяем ∠3, ∠1 и ∠2 в уравнении:
∠1 + ∠2 + 25° + ∠4 + ∠1 + ∠2 + ∠7 + ∠8 = 360°
Примечание: в данном случае ∠1 и ∠2 являются неизвестными, их значения мы и будем искать.
Объединим все похожие термины:
2∠1 + 2∠2 + ∠4 + ∠7 + ∠8 + 25° = 360°
Шаг 4: Найдем ∠1 и ∠2, решая уравнение.
Просто переместим члены на другую сторону уравнения:
2∠1 + 2∠2 + ∠4 + ∠7 + ∠8 = 360° - 25°
Упростим выражение в правой части:
2∠1 + 2∠2 + ∠4 + ∠7 + ∠8 = 335°
Шаг 4.1: Рассмотрим значение ∠8. Поскольку углы ∠3 и ∠8 являются вертикальными, то ∠3 = ∠8. Поэтому ∠8 = 25°.
Шаг 4.2: Вернемся к уравнению и заменим значение ∠8:
2∠1 + 2∠2 + ∠4 + ∠7 + 25° = 335°
Шаг 4.3: Также, обратим внимание на сумму ∠4 и ∠7. Они являются смежными углами и, поэтому, их сумма равна 180°. Заменим сумму ∠4 и ∠7 в уравнении:
2∠1 + 2∠2 + 180° + 25° = 335°
Упростим выражение:
2∠1 + 2∠2 + 205° = 335°
Шаг 4.4: Теперь, переместим члены с неизвестными на другую сторону уравнения:
2∠1 + 2∠2 = 335° - 205°
Упростим выражение в правой части:
2∠1 + 2∠2 = 130°
Шаг 4.5: Разделим уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 перед неизвестными:
∠1 + ∠2 = 130°/2
Упростим выражение:
∠1 + ∠2 = 65°
Таким образом, мы получили значение ∠1 + ∠2, которое равно 65°.
Шаг 4.6: Поскольку ∠1 = ∠5 и ∠2 = ∠6, мы можем заключить, что ∠5 + ∠6 = 65°.
Шаг 5: Также, обратим внимание на разносторонние прямые CD и EF. Они образуют второй пучок углов в точке E (внутри рамки).
В точности так же, как мы делали в Шаге 3 и Шаге 4, мы можем записать уравнение для ∠3, ∠5, ∠6 и ∠7:
∠3 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠3 + ∠5 + ∠6 + ∠8 = 360°
В данном случае, ∠3 = 25°, ∠5 + ∠6 = 65°, ∠3 = ∠8.
Заменим все в уравнении:
25° + 65° + ∠7 + 25° + 65° + ∠7 + ∠8 = 360°
Упрощаем выражение:
155° + 2∠7 + 25° = 360°
Шаг 5.1: Посмотрим на значение ∠8. Мы уже выяснили, что ∠8 = 25°.
Шаг 5.2: Вернемся к уравнению и заменим значение 33:
155° + 2∠7 + 25° = 360°
Шаг 5.3: Также обратим внимание на сумму ∠7 и ∠7. Они являются смежными углами и их сумма равна 180°. Заменим сумму ∠7 и ∠7 в уравнении:
155° + 2∠7 + 25° = 360°
Шаг 5.4: Теперь, переместим члены с неизвестными на другую сторону уравнения:
2∠7 = 360° - 155° - 25°
Упростим выражение в правой части:
2∠7 = 360° - 180°
Упростим дальше:
2∠7 = 180°
Шаг 5.5: Разделим уравнение на 2:
∠7 = 180°/2
Упростим выражение:
∠7 = 90°
Таким образом, мы нашли, что ∠7 = 90°.
Шаг 6: Теперь, найдем ∠4.
Опять же, обратим внимание на вертикальные углы ∠3 и ∠8. Они равны друг другу. Поэтому ∠4 = ∠3 = 25°.
Шаг 7: Сводная таблица значений углов:
∠1 = ∠5 = 65°
∠2 = ∠6 = 65°
∠3 = 25°
∠4 = ∠8 = 25°
∠7 = 90°
Таким образом, мы нашли значения всех углов.