Question

При каком отрицательном значении а уравнение x^3-3x^2-a=0 имеет ровно два корня?

Answer 1

запишем для нашего уравнения теорему Виета

x1+x2+x3=3

x1*x2+x2*x3+x1*x3=0

x1*x2*x3=-a

учтем, что по условию один корень уравнеия кратный.

x1+2x2=3

x1*x2^2=-a

x2^2+2x1*x2=0  x2*(x2+2x1)=0

x2=-2x1  подставляем в первое уравнение x1-4x1=-3  -3x1=3  x1=-1  x2=x3=2

X1*X2*X3=-4

т.е. уравнение имеет вид x^3-3x^2+4=0

a=-4

Answer 2

$x^3-3x^2-a=0$

Кубичеcкое уравнение имеет хотя бы два совпадающих корня, когда $D = 0$

$D = -4b^3d + b^2c^2 -4Ac^3 + 18Abcd - 27A^2d^2$

$A = 1$ (большая, что бы отличать от парметра $a$), $b = -3, c = 0, d =-a$

$D = -4*27*a - 27a^2 = 0\\ 4a + a^2 = 0\\ a(4 +a) = 0\\$

$a_1 = 0, a_2 = -4\\$

$a = -4$ (по условию $a<0$)

 Проведём проверку: $x^3-3x^2+4=0$

 В глаза бросается очевидный корень уравнения $x = -1$

$(x+1)B = x^3-3x^2+4$, если $B$ - вида $(x + c)^2$ - разаличных корня ровно два.

$(x+1)(x^2-4x+4) = x^3-3x^2+4$

$(x+1)(x-2)^2 = x^3-3x^2+4 =$ разаличных корня ровно два.