Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х + 1) км/ч - скорость катера по течению реки, (х - 1) км/ч - скорость катера против течения реки. 15 мин = (15 : 60) ч = 0,25 ч. Уравнение:
21/(х-1) - 21/(х+1) = 0,25
21 · (х + 1) - 21 · (х - 1) = 0,25 · (х + 1) · (х - 1)
21х + 21 - 21х + 21 = 0,25 · (х² - 1²)
42 = 0,25х² - 0,25
0,25х² = 42 + 0,25
0,25х² = 42,25
х² = 42,25 : 0,25
х² = 169
х = √169
х₁ = 13
х₂ = -13 (не подходит, так как меньше 0)
ответ: 13 км/ч.
Проверка:
21 : (13 + 1) = 21 : 14 = 1,5 ч - время движения по течению
21 : (13 - 1) = 21 : 12 = 1,75 ч - время движения против течения
1,75 - 1,5 = 0,25 ч = 15 мин - разница
№ 2:
при каком значении параметра a уравнение |x^2−2x−3|=a имеет три корня?
введем функцию
y=|x^2−2x−3|
рассмотрим функцию без модуля
y=x^2−2x−3
y=(x−3)(х+1)
при х=3 и х=-1 - у=0
х вершины = 2/2=1
у вершины = 1-2-3=-4
после применения модуля график отражается в верхнюю полуплоскость
при а=0 - 2 корня (нули х=3 и х=-1)
при 0< а< 4 - 4 корня (2 от исходной параболы, 2 от отображенной части)
при а=4 - 3 корня (2 от исходной параболы, 1 от вершины х=1)
при а> 4 - 2 корня (от исходной параболы)
ответ: 4