Для того, чтобы доказать аналитичность функции w=cos z, мы должны проверить выполнение условия Коши-Римана.
Функция w=cos z можно записать в виде w=cos(x+iy), где x и y - вещественные числа.
Условие Коши-Римана для аналитичности функции гласит:
∂u/∂x = ∂v/∂y и ∂u/∂y = -∂v/∂x,
где u и v - вещественные функции, соответствующие действительной и мнимой частям функции w, соответственно.
Давайте для начала найдем действительную и мнимую части функции w=cos z. Мы знаем, что cos z = (e^iz + e^(-iz))/2.
Раскроем формулу для cos z в комплексной экспоненциальной форме:
cos z = (e^iz + e^(-iz))/2
= (e^i(x+iy) + e^(-i(x+iy)))/2
= (e^(ix - y) + e^(-ix + y))/2
= (e^ix * e^(-y) + e^(-ix) e^(y))/2
= (cos x * e^(-y) + i sin x * e^(-y) + cos x * e^(y) - i sin x * e^(y))/2.
Теперь мы можем выделить действительную и мнимую части:
u = (cos x * e^(-y) + cos x * e^(y))/2 = cos x * (e^(-y) + e^(y))/2 = cos x * cosh y,
v = (sin x * e^(-y) - sin x * e^(y))/2 = sin x * (e^(-y) - e^(y))/2 = sin x * (-sinh y),
где cosh и sinh - гиперболические функции cosh y = (e^y + e^(-y))/2 и sinh y = (e^y - e^(-y))/2.
Теперь найдем частные производные:
∂u/∂x = -sin x * cosh y,
∂u/∂y = cos x * sinh y,
∂v/∂x = cos x * sinh y,
∂v/∂y = sin x * (-cosh y).
Из условия Коши-Римана получаем:
∂u/∂x = ∂v/∂y и ∂u/∂y = -∂v/∂x,
-sin x * cosh y = sin x * (-cosh y) и cos x * sinh y = cos x * sinh y.
Мы видим, что оба условия выполняются для любых значений x и y, следовательно, функция w = cos z удовлетворяет условию Коши-Римана и является аналитической.
Мне надо сорри