y = |x - 2| + |x + 1|
Нужно найти точки, в которых выражения под модулем меняют знак.
x - 2 = 0; x₁ = 2; x + 1 = 0; x₂ = -1
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.
1) x ∈ (-∞; -1]
y = |x - 2| + |x + 1| = -x + 2 - x - 1 = -2x + 1;
y = -2x + 1 - линейная функция. Точки для построения
x₁ = -2; y₁ = 5; x₂ = -1; y₂ = 3
2) x ∈ (-1; 2)
y = |x - 2| + |x + 1| = -x + 2 + x + 1 = 3;
y = 3 - линейная функция. График - прямая, параллельная OX
3) x ∈ [ 2; +∞)
y = |x - 2| + |x + 1| = x - 2 + x + 1 = 2x - 1;
y = 2x - 1 - линейная функция. Точки для построения
x₁ = 2; y₁ = 3; x₂ = 3; y₂ = 5
f(-3) = (-3)³ - 8*(-3)² + 17 = -27-72+17 = -82
f(3) = 3³ - 8*(3)² + 17 = 27-72+17 = -28
Наименьшее из них - -82 при x=-3.
2. Определим точки максимума и минимума (экстремума) функции. Для этого вычислим первую производную и найдем ее корни:
f'(x) = 3x²-16x = x(3x-16)
Корни: x=0, x=16/3.
При этом на промежутке от -∞ до 0 первая производная положительна, на отрезке между корнями - отрицательна, и от 16/3 до +∞ - вновь положительна.
Это означает, что на отрезке между корней функция f(x) убывающая, а на лучах вне отрезка [0; 16/3] - возрастающая.
При этом при x=0 функция f(x) имеет локальный максимум (f(x)=17), а при x=16/3 - локальный минимум.
Но корень x=16/3=5 1/3 > 3 находится вне отрезка [-3; 3], поэтому не влияет на наименьшее значение функции на заданном отрезке.
На заданном отрезке функция f(x) возрастает на промежутке [-3; 0] и убывает на промежутке [0; 3]. Значит, наименьшее значение она может принимать только на границах отрезка.
ответ: наименьшее значение функция принимает при x=-3. Значение - -82.