З'ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.
1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.
2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.
3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значень.
Область значень функції (множина значень) - усі значення, яких набуває функція.
Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x)
Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b - длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и .
На чертеже ветви гиперболы - бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и , где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
В решении.
Объяснение:
2.35. Решите уравнение:
1) (х+3)(х – 4) = -12;
Раскрыть скобки:
х²-4х+3х-12= -12
Привести подобные члены:
х²+х-12+12=0
х²+х=0 неполное квадратное уравнение
х(х+1)=0
х₁=0;
х+1=0
х₂= -1.
2) 18 - (х – 5)(х - 4) = -2;
18-(х²-4х-5х+20)= -2
18-х²+9х-20+2=0
-х²+9х=0/-1 неполное квадратное уравнение
х²-9х=0
х(х-9)=0
х₁=0;
х-9=0
х₂=9.
3) (3x-1)² = 1;
9х²-6х+1=1
9х²-6х=0 неполное квадратное уравнение
6х(1,5х-1)=0
6х=0
х₁=0;
1,5х-1=0
1,5х=1
х=1/1,5
х₂=2/3.
4) 5х + (2x+1)(х-3) = 0;
5х+2х²-6х+х-3=0
2х²-3=0
2х²=3
х²=3/2
х₁,₂=±√3/2
х₁= -√3/2;
х₂=√3/2.
5) (2x+3)(3х + 1) = 11х + 30;
6х²+2х+9х+3=11х+30
6х²+2х+9х+3-11х-30=0
6х²-27=0
6х²=27
х²=27/6 = 9/2
х₁,₂=±√9/2
х₁= -√9/2;
х²=√9/2.
6) x² – 5 = (х – 5)(2х - 1).
х²-5=2х²-х-10х+5
х²-5-2х²+х+10х-5
-х²+11х-10=0/-1
х²-11х+10=0
D=b²-4ac = 121-40=81 √D= 9
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(11-9)/2
х₁=2/2
х₁=1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(11+9/2
х₂=20/2
х₂=10.
Проверка путём подстановки вычисленных значений х в уравнения показала, что данные решения удовлетворяют данным уравнениям.
2.62. Найдите сумму и произведение корней:
1) х² - 37х+27 = 0;
По теореме Виета:
х₁+х₂=37;
х₁*х₂=27.
2) х² - 210x = 0;
По теореме Виета:
х₁+х₂=210;
х₁*х₂=0.
3) -y²+y= 0/-1;
у²-у=0
По теореме Виета:
х₁+х₂= -1;
х₁*х₂=0.
4) х²+41х - 371 = 0;
По теореме Виета:
х₁+х₂= -41;
х₁*х₂= -371.
5) y² - 19 = 0;
По теореме Виета:
х₁+х₂= 0;
х₁*х₂= -19.
6) 3х² - 10 = 0.
3х²=10
х²=10/3
х₁,₂=±√10/3
х₁= -√10/3;
х₂=√10/3
х₁+х₂= -√10/3+√10/3=0;
х₁*х₂= (-√10/3)*√10/3= -10/3.
Теорему Виета удобно применять в приведённых квадратных уравнениях (где коэффициент при х² равен единице).