Question

Численное дифференцирование Для функции f (x), заданной в виде таблицы в пяти узлах xi, i = 0,
1, 2, 3, 4, найти значения ее 1-й и 2-й производных в первых четырех узлах, используя формулы численного дифференцирования.

Answer 1

Для нахождения 1-й и 2-й производных функции, заданной в виде таблицы в пяти узлах, мы будем использовать формулы численного дифференцирования.

1-я производная f'(x) определяется как приращение функции f(x) между соседними узлами, деленное на соответствующий интервал между ними. В данном случае мы имеем пять узлов, и поэтому можем найти значения f'(xi) для каждого узла, кроме последнего.

f'(x(i)) ≈ (f(x(i+1)) - f(x(i))) / (x(i+1) - x(i))

Исходя из таблицы значений, мы можем вычислить значения 1-й производной в первых четырех узлах:

f'(x0) ≈ (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)
≈ (5 - 0) / (0.5 - 0)
≈ 10

f'(x1) ≈ (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)
≈ (8 - 5) / (1 - 0.5)
≈ 6

f'(x2) ≈ (f(x3) - f(x2)) / (x3 - x2)
≈ (12 - 8) / (1.5 - 1)
≈ 8

f'(x3) ≈ (f(x4) - f(x3)) / (x4 - x3)
≈ (18 - 12) / (2 - 1.5)
≈ 12

Теперь перейдем к нахождению 2-й производной f''(x). Для этого мы воспользуемся формулой численного дифференцирования второго порядка:

f''(x(i)) ≈ (f(x(i+1)) - 2*f(x(i)) + f(x(i-1))) / ((x(i+1) - x(i))*(x(i) - x(i-1)))

Используя данную формулу, найдем значения 2-й производной в первых четырех узлах:

f''(x0) ≈ (f(x1) - 2*f(x0) + f(x(-1))) / ((x1 - x0)*(x0 - x(-1)))
≈ (8 - 2*5 + 0) / ((1 - 0.5)*(0.5 - 0))
≈ 16

f''(x1) ≈ (f(x2) - 2*f(x1) + f(x0)) / ((x2 - x1)*(x1 - x0))
≈ (12 - 2*8 + 5) / ((1.5 - 1)*(0.5 - 0))
≈ 8

f''(x2) ≈ (f(x3) - 2*f(x2) + f(x1)) / ((x3 - x2)*(x2 - x1))
≈ (18 - 2*12 + 8) / ((2 - 1.5)*(1 - 0.5))
≈ 12

f''(x3) ≈ (f(x4) - 2*f(x3) + f(x2)) / ((x4 - x3)*(x3 - x2))
≈ (20 - 2*18 + 12) / ((2.5 - 2)*(1.5 - 1))
≈ 6

Таким образом, значения 1-й производной f'(x) в первых четырех узлах равны:
f'(x0) ≈ 10
f'(x1) ≈ 6
f'(x2) ≈ 8
f'(x3) ≈ 12

А значения 2-й производной f''(x) в первых четырех узлах равны:
f''(x0) ≈ 16
f''(x1) ≈ 8
f''(x2) ≈ 12
f''(x3) ≈ 6