Объяснение:
Вот так вот иоллллшгглопплдб
Дана функция у = (х-1)²/x².
1.Область определения функции. D ∈ R : x ≈ 0.
2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.
График функции пересекает ось X при f = 0.
Значит, надо решить уравнение (х-1)²/x² = 0.
Решаем это уравнение (достаточно приравнять нулю числитель):
(х-1)² = 0, х-1 = 0, х = 1.
Точки пересечения с осью X: (1; 0).
График пересекает ось Y, когда x равняется 0.
Подставляем x = 0 в (x - 1)²/x².
Результат: (0 - 1)²/0² невыполним, значит, график не пересекает ось Оу.
3. Промежутки знакопостоянства функции.
Так как переменная в числителе и знаменателе в квадрате, то функция на всей числовой оси только положительна.
4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).
f(-x) = ((-x) - 1)²/((-x)²) = (x + 1)²/x² ≠ f(x) ≠ -f(-x).
Поэтому функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность графика. Не периодична.
6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - смотри приложение.
7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Первая производная: y' = (1/x²)*(2x - 2) - (2/x³)*(x - 1)²
или y' = (2x - 2)/x³.
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(достаточно числитель): 2x-2 = 0
Откуда: x1 = 2/2 = 1.
(-∞ ;0) (0; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает.
В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x_{1} = \frac{3}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x_{1} = 0.
\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)\right) = \infty.
- пределы равны, значит, пропускаем соответствующую точку.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3/2]
Выпуклая на промежутках
[3/2, oo)
9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - смотри приложение.
10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.
11. Построение графика функции по проведенному исследованию дан в приложении.
Sin²x+sin²2x-sin²3x-sin²4x=0
1/2 (1-cos2x) + 1/2 (1-cos4x) - 1/2 (1-cos6x) - 1/2 (1-cos8x) = 0
1-cos2x+1-cos4x-1+cos6x-1+cos8x=0
(cos8x-cos2x) + 9cos6x-cos4x) = 0
-2sin3xsin5x-2sin2xsin5x=0
-2sin5x (sin3x+sin2x) = 0
-4sin5xsin2,5xcos0,5x=0
sin5x=0⇒5x=π4⇒x=πn/5
sin2,5x=0⇒2,5x=πn⇒x=2π/5
cos0.5x=0⇒0,5x=π/2+πn⇒x=π+2πn
ответ x=πn/5, x=π+2πn