Решите Докажите тождество :
A ) cos t * tg t = sin t ;
B ) cos t / ctg t = sin t
2) Упростите выражение :
A) sin^2 t - tg t * ctg t ;
B) 1-cos^2 t / 1-sin^2 t
3) Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки Р (1;0) на угол a (0 < a <2п). если cosa = - 0.7
4) Найдите все углы t ( 2п ⩽ t ⩽ 2п) , на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку М, если cost = 0.5.
5) Найти sina и cosa, если: a = -1800 (градусов)
A) Для доказательства данного тождества, мы можем использовать определения тригонометрических функций и тождества тригонометрии.
Используем определение tg (тангенс):
tg t = sin t / cos t
Подставляем это определение в левую часть тождества:
cos t * (sin t / cos t) = sin t
Сокращаем cos t в числителе и знаменателе:
sin t = sin t
Таким образом, доказано тождество.
B) Для доказательства данного тождества, мы можем использовать определения тригонометрических функций и тождества тригонометрии.
Используем определение ctg (котангенс):
ctg t = cos t / sin t
Подставляем это определение в левую часть тождества:
cos t / (cos t / sin t) = sin t
Умножаем числитель и знаменатель на sin t:
cos t * sin t / cos t = sin t
Сокращаем cos t в числителе и знаменателе:
sin t = sin t
Таким образом, доказано тождество.
2) Упрощение выражений:
A) Упростим выражение sin^2 t - tg t * ctg t:
Используем определение tg (тангенс):
tg t = sin t / cos t
И определение ctg (котангенс):
ctg t = cos t / sin t
Подставим эти определения в исходное выражение:
sin^2 t - (sin t / cos t) * (cos t / sin t)
Сократим sin t в числителе и знаменателе:
sin^2 t - 1
Таким образом, упрощенное выражение: sin^2 t - 1.
B) Упростим выражение (1 - cos^2 t) / (1 - sin^2 t):
Используем идентичность cos^2 t + sin^2 t = 1:
1 - cos^2 t = sin^2 t
Подставляем это в исходное выражение:
sin^2 t / (1 - sin^2 t)
Делим числитель и знаменатель на sin^2 t:
1 / (1 / sin^2 t - 1)
Используем идентичность 1 / sin^2 t = cosec^2 t:
1 / (cosec^2 t - 1)
Используем определение cosec (косеканс) и идентичность cosec^2 t - 1 = -cot^2 t:
1 / (-cot^2 t)
Таким образом, упрощенное выражение: -1 / cot^2 t.
3) Изображение на единичной окружности точек, полученных поворотом точки Р (1;0) на угол a (0 < a < 2п), если cos a = - 0.7.
На единичной окружности точка P (1;0) находится на оси x и представляет собой начальное положение. Поворот точки P на угол a приведет к новой точке M на этой окружности.
Используем связь между координатами точек на единичной окружности и тригонометрическими функциями:
x = cos a
y = sin a
Подставляем данное значение cos a = - 0.7 в выражение x = cos a:
x = - 0.7
Вычисляем значение y, используя идентичность cos^2 a + sin^2 a = 1:
y = √(1 - (-0.7)^2) = √(1 - 0.49) = √0.51
Таким образом, точка M (x; y) после поворота будет иметь координаты M (-0.7; √0.51) на единичной окружности.
4) Найдите все углы t (2п ⩽ t ⩽ 2п), на которые нужно повернуть точку P (1;0), чтобы получить точку M, если cos t = 0.5.
Поскольку значение cos t равно 0.5, мы знаем, что это значение основное значение косинуса для одного из углов. Такой угол называется частичным углом. Чтобы найти другие углы t, на которые нужно повернуть точку P, чтобы получить точку M, мы можем использовать периодичность тригонометрических функций.
Поскольку нам нужны значения углов только в диапазоне от 2π до 2π, мы можем использовать обратный косинус для определения частичного угла:
t = arccos(0.5)
Так как cos(t) имеет период 2π, мы можем добавить периодические постоянные к полученному частичному углу.
Значение arccos(0.5) равно π/3. Таким образом, мы получим следующие значения угла t:
t = π/3 + 2πk (где k = 0, 1, 2, ...)
Таким образом, все углы t (2π ⩽ t ⩽ 2π), на которые нужно повернуть точку P(1;0), чтобы получить точку M, если cos t = 0.5, задается формулой t = π/3 + 2πk, где k - целое число.
5) Найдите значение sina и cosa, если a = -1800 (градусов).
Поскольку значение a равно -1800 градусов, мы можем использовать периодичность тригонометрических функций. Поскольку sin(t) и cos(t) имеют период 360 градусов (или 2π радиан), мы можем найти значения sin(a) и cos(a), используя периодическую постоянную.
a = -1800 градусов равно -5π радиан (поскольку 1 радиан = 180/π градусов)
Зная, что sin(-θ) = -sin(θ) и cos(-θ) = cos(θ), мы можем использовать эти свойства для определения значений sin(a) и cos(a):
sin(a) = sin(-5π) = -sin(5π) = -sin(4π + π) = -sin(π) = 0
cos(a) = cos(-5π) = cos(5π) = cos(4π + π) = cos(π) = -1
Таким образом, значения sina и cosa, если a = -1800 (градусов), равны 0 и -1 соответственно.