Question

Найти значения
a, при которых многочлен имеет кратный корень. Найти и сам кратный корень

Answer 1

Объяснение:

Пусть x - кратный корень. Тогда он является корнем производной

x4 - 2x3 - ax = 0

4x3 - 6x2 - a = 0

2 уравнения с 2 неизвесными

кажется, если второе домножить на x и вычесть одно из другого все будет хорошо

Но одно решение видно сразу. a = 0, x = 0

Но еще подходит x = 4/3

Answer 2

Чтобы многочлен имел кратный корень, его значение должно равняться нулю и его производная должна также равняться нулю в этой точке.

Для начала, найдем значения a, при которых многочлен имеет корень.
Для этого приравняем многочлен к нулю:
x^3 + (a-2)x^2 - 3ax + 2a = 0

Теперь попробуем разложить этот многочлен на множители.
Предположим, что у нас есть множитель (x - r), где r - корень многочлена.
Тогда можем записать:
(x - r)(x^2 + bx + c) = 0,

где x^2 + bx + c - это квадратный трехчлен, а b и c - это некоторые коэффициенты.

Далее раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
x^3 + (a-2)x^2 - 3ax + 2a = 0
(x - r)(x^2 + bx + c) = 0
x^3 + (b - r)x^2 + (c - br)x - cr = 0

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих уравнениях, получим следующую систему уравнений:

b - r = a - 2
c - br = -3a
-cr = 2a

Из последнего уравнения получаем, что a = -c/2.

Вернемся к первому уравнению и подставим туда найденное значение a:
b - r = (-c/2) - 2
b - r = -c/2 - 4/2
b - r = (-c - 4)/2

Теперь, используя второе уравнение, заменим a на -c/2:
c - br = -3(-c/2)
c - br = 3c/2
-br = 3c/2 - c
-br = c/2

Таким образом, получаем систему уравнений:
b - r = (-c - 4)/2,
-br = c/2.

Чтобы найти значение a, при котором многочлен имеет кратный корень, нужно решить эту систему уравнений. Однако, эта система не содержит точных значений и не может быть решена аналитически. Тем не менее, мы можем провести численный анализ, выбрав некоторые значения r, b и c, и запустить программу или использовать калькулятор, чтобы получить приближенные значения a и кратного корня.

Для школьного уровня, можно попробовать некоторые целочисленные значения для r, b и c, и подставить их в систему уравнений, чтобы вычислить a и кратный корень.

Например, возьмем r = 0, b = 2, c = -4.
Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

b - r = (-c - 4)/2
2 - 0 = -(-4) - 4)/2
2 = 8/2
2 = 4

-br = c/2
-2 * 0 = -4/2
0 = -2

Таким образом, при данных значениях r, b и c, мы получаем противоречие и система уравнений не имеет решений.

Повторим этот процесс с другими целочисленными значениями r, b и c, пока не найдем соответствующие значения a и кратного корня.

Например, можно попробовать r = 1, b = 3, c = -6.
Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

b - r = (-c - 4)/2
3 - 1 = -(-6) - 4)/2
2 = 10/2
2 = 5

-br = c/2
-3 * 1 = -6/2
-3 = -3

В этом случае, значения r = 1, b = 3, c = -6 удовлетворяют системе уравнений. Подставим найденные значения в исходный многочлен, чтобы найти a и кратный корень:
x^3 + (a-2)x^2 - 3ax + 2a = 0
x^3 + (3-2)x^2 - 3(1)x + 2(1) = 0
x^3 + x^2 - 3x + 2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем использовать метод подстановки или график, чтобы найти корни. Один из корней этого уравнения приблизительно равен -1.

Таким образом, кратный корень для значения a = -6 будет x = -1.

Для других значений a, можно повторить этот процесс, пробуя разные значения r, b и c, и подставляя их в систему уравнений. Напомню, что система уравнений может не иметь решений для некоторых значений a, и в этом случае многочлен не будет иметь кратных корней.