Question

Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения ctg(0,1x+7°)= - _/3(это корень из трех

​

Answer 1

Давайте решим данное уравнение пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

1. Записываем данное уравнение: ctg(0,1x+7°) = - √3

2. Используя определение тангенса и контангенса, преобразуем уравнение:
1 / tan(0,1x+7°) = - √3
[известно, что ctg(x) = 1 / tan(x)]

3. Теперь возьмем обратные функции от обеих частей уравнения:
tan(0,1x+7°) = - 1 / √3

4. Используем тангенс половинного угла, чтобы преобразовать тангенс суммы углов:
tan[(0,1x+7°)/2] = √[(1 - 1/√3) / (1 + 1/√3)]

5. Упрощаем выражение в скобках:
tan[(0,1x+7°)/2] = √[(√3 - 1) / (√3 + 1)]
[для упрощения применим формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)]

6. Применяем формулу для тангенса половинного угла:
tan[(0,1x+7°)/2] = √3 - 1 / √3 + 1

7. Заменяем тангенс на синус и косинус:
sin[(0,1x+7°)/2] / cos[(0,1x+7°)/2] = (√3 - 1) / (√3 + 1)

8. Умножаем обе части уравнения на косинус, чтобы избавиться от деления:
sin[(0,1x+7°)/2] = (√3 - 1)(cos[(0,1x+7°)/2]) / (√3 + 1)

9. Применяем формулу синуса половинного угла:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x+7°)] / 2)]

10. Раскрываем косинус половинного угла:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)cos(7°) + sin[(0,1x)sin(7°)] / 2)]

11. Подставляем значения косинуса и синуса 7°:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]cos(7°) - sin[(0,1x)]sin(7°)) / 2]

12. Упрощаем выражение:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

13. Раскрываем косинус:
sin[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

14. Заменяем sin на 1/csc, чтобы избавиться от деления:
1 / csc[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

15. Применяем определение контангенса:
ctg[(0,1x+7°)/2] = ± √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Таким образом, наименьший положительный корень будет получен при обратном знаке корня:
ctg[(0,1x+7°)/2] = - √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Наибольший отрицательный корень будет получен при прямом знаке корня:
ctg[(0,1x+7°)/2] = √[(1 - cos[(0,1x)]) / 2]

Это позволяет найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения ctg(0,1x+7°) = - √3.