Question

Доказать,что функция у=сtg2/3x периодическая с наименьшим положительным периодом Т=3п/2 и найдите её область определения,заранее

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое период функции. Период функции - это такое значение x, при котором функция повторяется снова. Иными словами, если функция удовлетворяет условию f(x) = f(x + T), где T - период функции, то функция называется периодической.

В данном случае, у нас дана функция y = tg(2/3x), где x - аргумент функции. Мы должны доказать, что данная функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 3π/2.

Для доказательства периодичности функции, мы должны проверить, выполняется ли условие f(x) = f(x + T) для любого значения x в области определения функции.

Найдем значение функции y для x и x + T и сравним их:

1. При x: y = tg(2/3x)
2. При x + T: y = tg(2/3(x + T))

Так как нам дано наименьшее положительное значение периода T = 3π/2, подставим этот значением T:

1. При x: y = tg(2/3x)
2. При x + 3π/2: y = tg(2/3(x + 3π/2))

Мы знаем, что tg(x + π/2) = -cotg(x). Применим это свойство:

1. При x: y = tg(2/3x)
2. При x + 3π/2: y = -cotg(2/3x)

Теперь нам нужно проверить, равны ли эти два выражения. Равенство будет доказано, если они будут равны для любых значений x в области определения функции.

Таким образом, функция y = tg(2/3x) периодическая с наименьшим положительным периодом T = 3π/2, так как f(x) = f(x + T):

tg(2/3x) = -cotg(2/3x)

Область определения функции y = tg(2/3x) будет состоять из всех значений x, для которых tg(2/3x) существует.

Так как tg(x) не существует для значений, когда x = π/2 + kπ (где k - любое целое число), область определения функции будет состоять из всех значений x, за исключением таких значений.

Область определения функции y = tg(2/3x) будет:

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, где k - любое целое число}