Question

Составьте квадратное уравнение, каждый корень которого в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2 -15 +2=0​

Answer 1

Давайте посмотрим на данное уравнение: 4x^2 - 15x + 2 = 0.

Мы ищем квадратное уравнение, каждый корень которого в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0.

По условию задачи, каждый корень нового уравнения будет находиться в 7 раз дальше от нуля, чем соответствующий корень уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0.

Для составления нового уравнения, нам потребуется использовать формулы Виета.

Формула Виета для квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 гласит, что сумма корней равна -B/A, а произведение корней равно C/A.

Поэтому, если один из корней уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0 будет равен k, то другой корень будет равен (15 - k)/4.

Сумма корней данного уравнения равна (-B)/A = 15/4, и произведение корней равно C/A = 2/4 = 1/2.

Зная, что каждый корень нового уравнения должен быть в 7 раз дальше от нуля, мы можем составить следующую систему уравнений:

(k + 7k) + ((15 - k)/4 + 7(15 - k)/4) = 15/4,
(k + 7k) * ((15 - k)/4 + 7(15 - k)/4) = 1/2.

Давайте решим эту систему уравнений:

(k + 7k) + ((15 - k)/4 + 7(15 - k)/4) = 15/4,

8k + 8(15 - k)/4 = 15/4,

32k + 8(15 - k) = 15,

32k + 120 - 8k = 15,

24k = -105,

k = -105/24 = -35/8.

Теперь, найдем второй корень уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0:

(15 - k)/4 = (15 - (-35/8))/4 = (120/8 + 35/8)/4 = 155/32.

Таким образом, мы получили, что один корень нового уравнения равен -35/8, а другой корень равен 155/32.

Теперь, с помощью найденных корней, мы можем записать квадратное уравнение:

(x + 35/8)(x - 155/32) = 0.

Или, раскрыв скобки, получим:

x^2 - (155/32)x + (35/8)x - (35/8)(155/32) = 0.

x^2 - (155/32 - 35/8)x - (35/8)(155/32) = 0.

x^2 - (155/32 - 70/32)x - (35/8)(155/32) = 0.

x^2 - (85/32)x - (35/8)(155/32) = 0.

x^2 - (85/32)x - (35)(155)/(8)(32) = 0.

x^2 - (85/32)x - 66/8 = 0.

x^2 - (85/32)x - 33/4 = 0.

Таким образом, квадратное уравнение, каждый корень которого в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0, имеет вид:

x^2 - (85/32)x - 33/4 = 0.