Question

Даны две системы векторов а1,а2,а3 и б1,б2,б3, определить какая из этих систем образует базис: разложить вектор m по этому базису а1(9,3,-4) а2(2,-1,3) а3(7,4,1) б1(1,-2,7) б2(3,1,-4) б3(5,-3,10) m(28,16,12)

Answer 1

Для начала определим, является ли каждая из систем векторов линейно независимой. Для этого составим матрицу из координат векторов каждой системы и проверим ее ранг.

Матрица для системы векторов а1, а2, а3 будет выглядеть следующим образом:
|9 2 7 |
|3 -1 4 |
|-4 3 1 |

Матрица для системы векторов б1, б2, б3 будет выглядеть следующим образом:
|1 3 5 |
|-2 1 -3 |
|7 -4 10 |

Для определения ранга матрицы можно воспользоваться методом Гаусса или проанализировать ее элементы. Но скорее всего это слишком сложно для школьника, поэтому можно воспользоваться свойством определителя. Если определитель матрицы равен нулю, то система векторов линейно зависима.

Вычислим определители матриц:
det(A) = 9*(-1*1 - 4*3) - 2*(3*1 - 4*7) + 7*(3*4 - (-1)*(-4)) = 9*(-7) - 2*(-23) + 7*(16) = -63 + 46 + 112 = 95
det(B) = 1*(1*10 - (-3)*(-4)) - 3*(-2*10 - (-3)*5) + 5*(-2*(-4) - 1*5) = 1*(10 + 12) - 3*(-20 - 15) + 5*(8 -5) = 22 + 105 + 15 = 142

Таким образом, определители матриц A и B не равны нулю, что означает, что обе системы векторов линейно независимы.

Теперь разложим вектор m по базису каждой из систем.

Пусть вектор m разлагается по базису a1, a2, a3 следующим образом:
m = x1 * a1 + x2 * a2 + x3 * a3

Задача состоит в нахождении коэффициентов x1, x2, x3.

Распишем уравнение разложения для каждой координаты вектора m:
28 = 9 * x1 + 2 * x2 + 7 * x3
16 = 3 * x1 - x2 + 4 * x3
12 = -4 * x1 + 3 * x2 + x3

Решим полученную систему линейных уравнений. Для этого можно воспользоваться методом Крамера или методом Гаусса.
С использованием метода Гаусса получим следующую матрицу:
|9 2 7 | 28 |
|3 -1 4 | 16 |
|-4 3 1 | 12 |

Приведем матрицу к ступенчатому виду:
1. Делим 1-е уравнение на 9:
|1 2/9 7/9 | 28/9 |
|3 -1 4 | 16 |
|-4 3 1 | 12 |

2. Вычитаем из 2-ого уравнения 3-е умноженное на 3:
|1 2/9 7/9 | 28/9 |
|0 25/9 5/9 | 8/9 |
|-4 3 1 | 12 |

3. Прибавляем к 3-ему уравнению 4-ое умноженное на 4:
|1 2/9 7/9 | 28/9 |
|0 25/9 5/9 | 8/9 |
|0 15 5 | 60 |

4. Делим 2-ое уравнение на 25/9:
|1 2/9 7/9 | 28/9 |
|0 1 1/5| 8/5 |
|0 15 5 | 60 |

5. Вычитаем из 1-го уравнения 2-ое умноженное на 2/9:
|1 0 5/9 | 4/9 |
|0 1 1/5 | 8/5 |
|0 15 5 | 60 |

6. Вычитаем из 3-го уравнения 2-ое, умноженное на 15:
|1 0 5/9 | 4/9 |
|0 1 1/5 | 8/5 |
|0 0 0 | 0 |

Теперь полученная матрица имеет ступенчатый вид. Запишем ее в виде системы уравнений:
x1 + (5/9) * x3 = 4/9
x2 + (1/5) * x3 = 8/5
0 = 0

Так как последнее уравнение 0 = 0 всегда выполняется, то можно произвольно выбрать значение x3 и подставить его в выражения для x1 и x2, чтобы получить конкретные значения x1 и x2.

Подставим x3 = 9 в выражения:
x1 + (5/9) * 9 = 4/9
x2 + (1/5) * 9 = 8/5

Упростим:
x1 + 5 = 4/9
x2 + 9/5 = 8/5

Вычтем 5 из обеих частей первого уравнения:
x1 = 4/9 - 5 = 4/9 - 45/9 = -41/9

Вычтем 9/5 из обеих частей второго уравнения:
x2 = 8/5 - 9/5 = -1/5

Таким образом, коэффициенты разложения вектора m по базису а1, а2, а3 равны: x1 = -41/9, x2 = -1/5, x3 = 9.

Аналогичным образом, можно найти коэффициенты разложения вектора m по базису б1, б2, б3.

m = y1 * б1 + y2 * б2 + y3 * б3

Распишем уравнение разложения для каждой координаты вектора m:
28 = 1 * y1 + 3 * y2 + 5 * y3
16 = -2 * y1 + y2 - 3 * y3
12 = 7 * y1 - 4 * y2 + 10 * y3

Решим полученную систему линейных уравнений с использованием метода Гаусса.

|1 3 5 | 28 |
|-2 1 -3 | 16 |
|7 -4 10 | 12 |

1. Делим 1-ое уравнение на 1:
|1 3 5 | 28 |
|-2 1 -3 | 16 |
|7 -4 10 | 12 |

2. Добавляем к 2-ому уравнению 2-ое умноженное на 2:
|1 3 5 | 28 |
|0 7 -1 | 48 |
|7 -4 10 | 12 |

3. Вычитаем из 3-его уравнения 7-ое умноженное на 1:
|1 3 5 | 28 |
|0 7 -1 | 48 |
|0 -25 3 | -188 |

4. Делим 2-ое уравнение на 7:
|1 3 5 | 28 |
|0 1 -1/7| 48/7|
|0 -25 3 | -188 |

5. Прибавляем к 3-ому уравнению 25-ое умноженное на 1:
|1 3 5 | 28 |
|0 1 -1/7| 48/7|
|0 0 28/7| 112/7|

6. Делим 3-ое уравнение на 28/7:
|1 3 5 | 28 |
|0 1 -1/7 | 48/7 |
|0 0 1 | 4 |

7. Вычитаем из 2-ого уравнения 3-ое умноженное на -1/7:
|1 3 5 | 28 |
|0 1 0 | 50/7 |
|0 0 1 | 4 |

8. Вычитаем из 1-ого уравнения 2-ое умноженное на 3:
|1 0 5 | 2/7 |
|0 1 0 | 50/7 |
|0 0 1 | 4 |

Теперь полученная матрица имеет ступенчатый вид. Запишем ее в виде системы уравнений:
x1 + 5 * x3 = 2/7
x2 = 50/7
x3 = 4

Таким образом, коэффициенты разложения вектора m по базису б1, б2, б3 равны: y1 = 2/7, y2 = 50/7, y3 = 4.

Так как и система a1, a2, a3, и система б1, б2, б3 образуют базис, то вектор m может быть разложен по любой из этих систем векторов.