Исследовать функцию f (x) = 11x/(16+x²) и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Функция f (x) = 11x/(16+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –11x(16+x²) ≠ f(x)
f(–x) = 11*(–x)/(16+(–x)²) = –(11x(16+x²)) = –f(x)
Функция является четной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, 11x/(16+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Находим производную заданной функции.x = 4, x = -4 критические точки.
Интервалы возрастания и убывания функции:6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = 0
x_{2} = - 4 \sqrt{3}
x_{3} = 4 \sqrt{3}
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
8. Искомый график функции дан в приложении.
Объяснение:
а) 2х(х^2+8х-3)=2х^3+16х^2-6х
б) - 3а(а^2+2ав-5в)= - 3а^3-6а^2в+15ав
в) 4х^3(ах^2+а^3х-2а^2)=4ах^5+4х^4а^3-8а^2х^3
а)5х(х-4)-2(х^2+3х)=5х^2-20х-2х^2-6х=3х^2-26х=
=х(3х-26)
б) 3а(2а+а^2)-4а(а^2-7а)=6а^2+3а^3-4а^3+28а^2=
= - а^3+34а^2=а^2(34-а)
в) х(х+2у)-у(3х-4у)=х^2+2ху-3ху+4у^2=
=х^2+4у^2-ху