Question

Решить задачу Коши, очень
6 пример

Answer 1

1)решаем ОЛДУ

$y'' - 6y' + 8y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 6 k + 8) = 0 \\ d = 36 - 32 = 4 \\ k1 = 4 \\ k2 = 2 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{4x}$

2)подбираем y~

$у=A{e}^{x} \\ у'=у''=A{e}^{x} \\ A{e}^{x}-6A{e}^{x}+8A{e}^{x}={e}^{x}\\3A{e}^{x}={e}^{x} \\ A=\frac{1}{3} \\ у=\frac{1}{3}{e}^{x} \\ \\ y= C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{4x}+\frac{1}{3}{e}^{x}$

общее решение

______________

найдём частное решение

$y(0) = 2,y'(0) = 1$

$y' = 2C1 {e}^{2x} + 4C2 {e}^{4x} +\frac{1}{3}{e}^{x}$

система:

$2 = C1 + C2 +\frac{1}{3}\\ 1 = 2C1 + 4C2+\frac{1}{3} \\ \\ C1+C2=\frac{5}{3} \\ 2C1+4C2=\frac{2}{3} \\ \\ C1 = \frac{5}{3} - C2 \\ 2(\frac{5}{3} - C2) + 4 C2=\frac{2}{3} \\ \\ \frac{10}{3} - 2C2 + 4C2 = \frac{2}{3} \\ 2C2 = - \frac{8}{3} \\ C2 = - \frac{4}{3} \\ \\ C1 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

$y = - \frac{4}{3} {e}^{2x} + \frac{2}{3} {e}^{4x} +\frac{1}{3}{e}^{x}$

частное решение