Question

А) Докажите, что переменная хn = 3 + 2n является беско- нечно большой, пользуясь определением бесконечно
большой (на языке «M — N»).
б) Чему равен lim xn
​

Answer 1

а) Чтобы доказать, что переменная хn является бесконечно большой, воспользуемся определением бесконечно большой последовательности. Последовательность xn называется бесконечно большой, если выполняется условие: для любого M существует такое N, что для всех n > N выполняется условие xn > M.

Для доказательства этого условия, мы можем найти такое N, начиная с которого все значения xn будут больше любого данного M.

Подставим значение x_n = 3 + 2n в неравенство xn > M и решим его:

3 + 2n > M

Вычтем 3 из обеих сторон:

2n > M - 3

Разделим обе стороны на 2, учитывая, что M - 3 должно быть положительным числом, так как M любое значение больше 3:

n > (M - 3)/2

Таким образом, мы нашли выражение, которое определяет, начиная с какого значения n, все значения xn будут больше любого заданного M - N = (M - 3)/2.

Поэтому, xn = 3 + 2n является бесконечно большой последовательностью по определению бесконечно большой.

б) Чтобы найти значение lim xn, мы должны найти предел этой последовательности при n стремящемся к бесконечности.

Определение предела гласит, что lim xn = L, если для любого ε > 0 существует такое N, что для всех n > N выполняется условие |xn - L| < ε.

Подставим значение xn = 3 + 2n в неравенство |xn - L| < ε и решим его:

|3 + 2n - L| < ε

Мы должны найти такое L, чтобы любой элемент xn этой последовательности был сколь угодно близким к L с точностью ε.

Однако, в данной последовательности нет определенного предела, так как при возрастании n значения xn будут бесконечно возрастать. Это означает, что для любого заданного L, мы всегда можем найти n, значение xn которого будет больше L.

Следовательно, lim xn не существует или равен бесконечности.