Question

Даю 15. Найдите x+y, если (x;y)-решение системы уравнений: ​

Answer 1

$\left \{ {2{\sqrt[8]{x}-\sqrt[4]{y}=1 } \atop {\sqrt[8]{x}+2\sqrt[4]{y} =8 \ (*2)}} \right. =\left \{ {{2{\sqrt[8]{x}-\sqrt[4]{y}=1} \atop {2\sqrt[8]{x}+4\sqrt[4]{y}=16 }} \right. \ (-)$

отнимаем от первого уравнения второе:

$-5\sqrt[4]{y}=-15\\\sqrt[4]{y}=3\\y= 81\\\\\sqrt[8]{x}+2*3=8\\\sqrt[8]{x} =2\\x= 256$

ОТВЕТ: x+y=256+81=337

Answer 2

$\begin{equation*}\begin{cases}2\sqrt[8]{x} - \sqrt[4]{y} = 1\\\\\sqrt[8]{x} + 2\sqrt[4]{y} = 8\end{cases}\end{equation*}$

Чтобы не таскаться пока со степенями, введём две замены: $v = \sqrt[8]{x}\ ,\ v \geq 0$  ;  $u = \sqrt[4]{y}\ ,\ u \geq 0$ . Получаем систему:

$\begin{equation*}\begin{cases}2v - u = 1\ \ \Big| \cdot 2\\v + 2u = 8\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}4v - 2u = 2\\v + 2u = 8\end{cases}\end{equation*}$

Воспользуемся методом сложения:

$4v + v = 8 + 2\\\\5v = 10\ \ \ \ \ \Big| :5\\\\v = 2$

Тогда:

$\begin{equation*}\begin{cases}v = 2\\v + 2u = 8\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}v = 2\\2 + 2u = 8\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}v = 2\\2u = 6\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}v = 2\\u = 3\end{cases}\end{equation*}$

Обратная замена:

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt[8]{x} = 2\\\sqrt[4]{y} = 3\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x = 2^8\\y = 3^4\end{cases}\end{equation*}\ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x = 256\\y = 81\end{cases}\end{equation*}$

Тогда $x+y =256 + 81 = \boxed{\textbf{337}}$ .

ответ: 337.