у = -2х + 1
Объяснение:
f(x) = - х2 + 2х – 3
g(x) = x2+ 2
Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет вид:
у = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
1. Составим уравнение касательной к графику f(x) = - х2 + 2х – 3:
Пусть касательная проходит через точку х0 = с:
f’(x) = (- х2 + 2х – 3)’ = - 2x + 2
f’(c) = -2c + 2
f(c) = - c2 + 2c – 3
Уравнение касательной:
у = (-2с + 2) (х – с) - c2 + 2c – 3 = -2сх + 2с2 + 2х - 2с - c2 + 2c – 3 = (2 - 2с)х + с2 – 3
у = (2 - 2с)х + с2 – 3
2. Составим уравнение касательной к графику g(x) = x2+ 2:
Пусть касательная проходит через точку х0 = а:
g’(x) = (x2+ 2)’ = 2x
g’(а) = 2а
g(а) = а2 + 2
Уравнение касательной:
у = 2а (х – а) + а2 + 2 = 2ах – 2а2 + а2 + 2 = 2ах - а2 + 2
у = 2ах - а2 + 2
3. Т.к. искомая касательная едина для двух функций, то
2 – 2с = 2а
с2 – 3 = - а2 + 2
Решим систему уравнений.
а = 1 – с
подставим во второе уравнение:
с2 – 3 = - (1 – с)2 + 2
с2 – 3 = - 1 + 2с – с2 + 2
с2 – 3 + 1 - 2с + с2 – 2 = 0
2с2 – 2с – 4 = 0
с2 – с – 2 = 0
(с + 1) (с - 2) = 0
с1 = - 1
с2 = 2
Тогда:
а1 = 2
а2 = - 1
Таким образом, графики функций имеют 2 общие касательные:
у = 4х – 2
у = -2х + 1
Объяснение:
Представим левую часть в несколько ином виде. Рассмотрим выражение
. Заметим, что при x = 2 значение выражения равно нулю. Значит, выражение можно представить в виде произведения многочлена 
и многочлена 4-ой степени. Поделив в столбик
Исходное уравнение можно представить, как
При x ≤ 2 левая часть не превосходит -2, так как квадрат всегда неотрицателен, а x-2 ≤ 0. Значит, уравнение может иметь корни только при x > 2. Тогда корень уравнения можно представить в виде суммы двух взаимно обратных чисел (такая сумма по модулю не меньше двух).
Пусть
. Тогда
При t = 1 x = 2, что противоречит условию x > 2. Значит, на (t-1)² можно сократить:
Пусть
:
Решим квадратное уравнение в числителе:
Оба корня можно представить как один, так как по факту это просто слагаемые, переставленные местами. Получаем![x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}} +\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}](/tpl/images/2009/1472/f46b5.png)