Достаточно показать, что выражение в числителе 6ⁿ + 20n + 24 при любом натуральном n кратно 25. Тогда дробь есть целое число. Докажем индукцией по n. При n = 1 выражение 6ⁿ + 20n + 24 = 50 = 2*25. Пусть это выражение кратно 25 при произвольном n. Покажем, что тогда и выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25. 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 = 6*6ⁿ + 20n +20 + 24 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5*6ⁿ + 20 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5(6ⁿ + 4). Число 6ⁿ + 4 оканчивается нулём, поэтому кратно 5, значит выражение 5(6ⁿ + 4) = 25k кратно 25. Член суммы 6ⁿ + 20n + 24 кратен 25 по предположению индукции, значит всё выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25, отсюда следует кратность 25 выражения 6ⁿ + 20n + 24, а значит дробь 2021*(6ⁿ + 20n + 24)/25 есть целое число.
В этой системе неравенств мы находим какую область значений занимает х: 3x+2≥0 3х≥-2 х≥-2/3 x-5>5 x>5 x>5 -∞-2/35+∞
Общая площадь у этой системы неравенств будет x>5 ⇒ x∈(5;+∞). Во втором примере находим при каких значениях х выражения в скобках =0: (x-3)/(x-5)≥0 х-3=0 x=3 x-5=0 x=5 -∞+3-5++∞ (Для определения знака подставляем одно значения х из этой области. Например: х∈(-∞;3) x=0 ⇒(0-3)/(0-5)=(-3)(-5)=15≥0 ⇒ в этой области х принимает положительные значения). ⇒ х∈(-∞;3]U[5;+∞). Аналогично: (1-x)(7-x)≥0 x=1 x=7 -∞+1-7++∞ x∈(-∞;1]U[7;+∞) -∞35+∞ 17 x∈(-∞;1]U[7;+∞).
Достаточно показать, что выражение в числителе 6ⁿ + 20n + 24 при любом натуральном n кратно 25. Тогда дробь есть целое число. Докажем индукцией по n. При n = 1 выражение 6ⁿ + 20n + 24 = 50 = 2*25. Пусть это выражение кратно 25 при произвольном n. Покажем, что тогда и выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25. 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 = 6*6ⁿ + 20n +20 + 24 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5*6ⁿ + 20 = 6ⁿ + 20n + 24 + 5(6ⁿ + 4). Число 6ⁿ + 4 оканчивается нулём, поэтому кратно 5, значит выражение 5(6ⁿ + 4) = 25k кратно 25. Член суммы 6ⁿ + 20n + 24 кратен 25 по предположению индукции, значит всё выражение 6ⁿ⁺¹ + 20(n + 1) + 24 кратно 25, отсюда следует кратность 25 выражения 6ⁿ + 20n + 24, а значит дробь 2021*(6ⁿ + 20n + 24)/25 есть целое число.