Question

Найдите те значения аргумента, при которых значения производной функции $y=cos2\pi x-sin2\pi x$ равны $2\pi$. В ответе запишите наименьшее положительное значение аргумента.

Answer 1

Для решения данной задачи нам потребуется найти производную функции y = cos^2(πx) - sin^2(πx) и приравнять ее к значению 2π.

Шаг 1: Найдем производную функции y по аргументу x с помощью правила дифференцирования сложной функции:

y' = d/dx(cos^2(πx) - sin^2(πx))

Для этого воспользуемся формулой для производной функции cos^2(u) и sin^2(u):

y' = d/dx(cos^2(πx)) - d/dx(sin^2(πx))

Здесь u = πx.

Применяя правило дифференцирования, получим:

y' = 2cos(πx)(-sin(πx)π) - 2sin(πx)(-cos(πx)π)

Здесь мы использовали правило производной сложной функции.

Таким образом, мы получаем производную функции y равной:

y' = -2πsin(πx)cos(πx) - 2πcos(πx)sin(πx)

Шаг 2: Теперь приравняем полученное значение производной к значению 2π и найдем значения аргумента x:

-2πsin(πx)cos(πx) - 2πcos(πx)sin(πx) = 2π

Упрощаем выражение, убирая общий множитель 2π:

-sin(πx)cos(πx) - cos(πx)sin(πx) = 1

Исключаем синусы и косинусы, замечая, что последние суммируются в нуль:

-2sin(πx)cos(πx) = 1

Делим обе части на -2:

sin(πx)cos(πx) = -1/2

Шаг 3: Ищем значения аргумента, при которых sin(πx)cos(πx) равно -1/2. Заметим, что sin(πx) и cos(πx) принимают значения -1, 0 и 1.

Приравниваем sin(πx) и cos(πx) к значениям:

sin(πx) = 1, cos(πx) = -1/2

sin(πx) = -1, cos(πx) = 1/2

sin(πx) = 1/2, cos(πx) = -1

sin(πx) = -1/2, cos(πx) = 1

Следовательно, мы получаем 4 уравнения:

1) sin(πx) = 1, cos(πx) = -1/2
2) sin(πx) = -1, cos(πx) = 1/2
3) sin(πx) = 1/2, cos(πx) = -1
4) sin(πx) = -1/2, cos(πx) = 1

Шаг 4: Решаем каждое из уравнений.

1) sin(πx) = 1, cos(πx) = -1/2
Заметим, что sin(πx) не может быть равным 1 при любом значении x, так как sin(πx) принимает значения только от -1 до 1.
Поэтому это уравнение не имеет решений.

2) sin(πx) = -1, cos(πx) = 1/2
Заметим, что sin(πx) не может быть равным -1 при любом значении x, так как sin(πx) принимает значения только от -1 до 1.
Поэтому это уравнение не имеет решений.

3) sin(πx) = 1/2, cos(πx) = -1
Заметим, что sin(πx) равен 1/2 при x = 1/6, так как sin(π/6) = 1/2, а cos(πx) равен -1 при x = 1/2, так как cos(π/2) = -1.
Поэтому этому уравнению соответствует решение x = 1/6.

4) sin(πx) = -1/2, cos(πx) = 1
Заметим, что sin(πx) равен -1/2 при x = 5/6, так как sin(5π/6) = -1/2, а cos(πx) равен 1 при x = 0, так как cos(0) = 1.
Поэтому этому уравнению соответствует решение x = 5/6.

Шаг 5: Найдем наименьшее положительное значение аргумента, которое является решением уравнений.
x = 1/6 и x = 5/6 являются решениями нашей задачи. Нам необходимо выбрать наименьшее положительное значение, которое соответствует этим решениям.
Сравниваем значения x = 1/6 и x = 5/6 и видим, что наименьшее положительное значение аргумента равно 1/6.

Ответ: Наименьшее положительное значение аргумента равно 1/6.