O12.22. Найдите значения выражений: а) а?, (-а)?, -а? при а= 1, а = -1, а = 0, а = 10; б) с? + (-с)3 + c4 при c = с = 1, c = 0, с = 10, с = -1; в) b4, (-b)°, -b при b = 1, b = 0, b= -1, b= 10; г) d – d2 + d +1 при d = -1, d = 0, d = 1, d = 10.
Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
Определим делимое число без остатка 2015 - 215 = 1800 , тогда можно записать 2015 : n = (1800 + 215) : n Таким образом нужно найти натурально число n > 215 на которое делится число 1800, для этого разложим число 1800 на множители 1) 1800 = 2*900 2) 1800 = 3*600 3) 1800 = 4*450 4) 1800 = 5*360 5) 1800 = 6*300 6) 1800 = 8*225
Таким образом получаем все варианты деления числа 2015 на следующее натурально число n: 1) 2015 : 900 = 2 целых 215 остаток 2) 2015 : 600 = 3 целых 215 остаток 3) 2015 : 450 = 4 целых 215 остаток 4) 2015 : 360 = 5 целых 215 остаток 5) 2015 : 300 = 6 целых 215 остаток 6) 2015 : 225 = 8 целых 215 остаток
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.
Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.