Используем формулы сокращенного умножения
a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
1/
(x - 2)(x² + 2x + 4) - (1 + x)(x² - x + 1) = (x³ - 2³) - (x³ + 1) = -9
2/
(x - 3)(x² + 3x + 9) - x(x + 1)(x - 1) = (x³ - 3³) - x(x² - 1²) = x³ - 27 - x³ + x = x - 27
3/
a(a - 3)(a + 3) - (a + 2)(a² - 2a + 4) = a(a² - 3²) - (a³ + 2³) = a³ - 9a - a³ - 8 = -9a - 8
4/ (a² - 1)(a² + 1)(a⁴⁸ + 1)(a¹² + 1)(a²⁴ + 1)(a⁴ - a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = a⁹⁶ - 1
по частям 1. первые 2 скобки 2. 3-4-5 скобки 3. 6 и 7 скобки
(a² - 1)(a² + 1) = a⁴ - 1
(a⁴ - a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = (a⁴ + 1 - a² )(a⁴ + 1 + a²) = (a⁴ + 1)² - (a² )² = a⁸ + 2a⁴ + 1 - a⁴ = a⁸ + a⁴ + 1
(a⁴ - 1)(a⁸ + a⁴ + 1) = a¹² - 1
(a¹² - 1)(a⁴⁸ + 1)(a¹² + 1)(a²⁴ + 1) = (a¹² - 1)(a¹² + 1)(a²⁴ + 1)(a⁴⁸ + 1) = (a²⁴ - 1)(a²⁴ + 1)(a⁴⁸ + 1) = (a⁴⁸ - 1)(a⁴⁸ + 1) = a⁹⁶ - 1
p=6 ; x12=(1+-√13)/2 ; x3=2
Многочлен : P(x)= x³-3x²-x+6
Объяснение:
Подставим известный корень в уравнение :
x³-3x²-x+p =0
x=2
8-12-2+p=0
p=6
x³-3x²-x+6=0
1 -й cпособ
По обобщенной теореме Виета
Сумма корней равна : x1+x2+x3= 3 , а произведение равно x1*x2*x3= -6
Тогда сумма двух других корней равна :
x1+x2=3-2=1
Произведение :
x1*x2= -6/2=-3
Тогда x1,x2 - корни уравнения
x^2-x-3=0
D = 1+ 12=13
x12=( 1+-√13)/2
2 cпособ.
Разделить данный многочлен в столбик на (x-2) или банально вынести этот множитель из многочлена . ( просто вынесу)
x^3-3*x^2 -x+6 = x^3 -2*x^2 -x^2-x+6 = x^2*(x-2) -(x-2)*(x+3) =
=(x-2)*( x^2-x-3) ( совпало , значит мы решили задачу правильно)
ответ : p=6 ; x12=(1+-√13)/2 ; x3=2