Question

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма первых двух членов которой равна 48, а сумма всех членов равна 49.​

Answer 1

Хорошо, давайте решим задачу.

Пусть первый член прогрессии равен "a", а знаменатель - "q". Тогда геометрическая прогрессия имеет вид: a, aq, aq^2, aq^3, ...

По условию задачи, сумма первых двух членов равна 48, т.е. a + aq = 48.
И сумма всех членов равна 49, т.е. a + aq + aq^2 + aq^3 + ... = 49.

Для того чтобы найти "a" и "q", мы можем воспользоваться следующими свойствами бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1. Если |q| < 1, то сумма всех членов ряда равна S = a / (1 - q).

2. Если |q| > 1, то сумма всех членов ряда расходится к плюс или минус бесконечности, в зависимости от знака знаменателя.

3. Если |q| = 1, то сумма всех членов ряда расходится.

Из условия задачи следует, что сумма всех членов равна 49, т.е. a / (1 - q) = 49.

На данном этапе, нам необходимо задать предположение о знаке "q". Допустим, что "q" > 1.

Тогда мы должны проверить, подходит ли данное предположение. Для этого, воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей прогрессии при |q| > 1:

S = a / (1 - q).

Так как S в данной задаче равно 49, подставляем и находим:

49 = a / (1 - q).

Переносим q влево и получаем уравнение:

a = 49 - 49q.

Теперь подставим выражение для "a" в первое уравнение:

49 - 49q + (49 -49q)q = 48.

Упрощаем уравнение:

49 - 49q + 49q - 49q^2 = 48.

49 - 49q^2 = 48.

-49q^2 = 48 - 49.

-49q^2 = -1.

q^2 = 1 / 49.

q = sqrt(1 / 49).

q = 1 / 7.

Подставляем найденное значение "q" в уравнение для "a":

a = 49 - 49q.

a = 49 - 49 * (1 / 7).

a = 49 - 7.

a = 42.

Таким образом, первый член прогрессии равен "42", а знаменатель - "1/7".