Хорошо, я расскажу, как можно найти первообразную функции f(x) = (5/2√3)x + 2 + 1/sin²(4x) в общем виде.
Для начала, вспомним, что первообразная функции f(x) - это функция F(x), производная которой равна f(x).
1. Продолжаем с f(x) = (5/2√3)x + 2 + 1/sin²(4x).
2. Найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.
- Первое слагаемое f₁(x) = (5/2√3)x.
Для нахождения первообразной этого слагаемого, мы можем использовать обычные методы интегрирования функций первой степени. Продолжим:
∫ (5/2√3)x dx = (5/2√3) * ∫ x dx.
Здесь мы можем использовать формулу интегрирования функций первой степени: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:
Таким образом, первообразная для первого слагаемого будет F₁(x) = (5/2√3) * (x^2/2) + C₁.
- Второе слагаемое f₂(x) = 2.
Поскольку 2 является константой, то его первообразная будет просто 2x.
Итак, первообразная для второго слагаемого будет F₂(x) = 2x.
- Третье слагаемое f₃(x) = 1/sin²(4x).
Это сложно, поэтому мы воспользуемся тригонометрической заменой.
Пусть t = 4x, тогда dt = 4dx и dx = dt/4.
Заменим в нашем уравнении x и dx на t и dt/4 соответственно:
Для начала, вспомним, что первообразная функции f(x) - это функция F(x), производная которой равна f(x).
1. Продолжаем с f(x) = (5/2√3)x + 2 + 1/sin²(4x).
2. Найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.
- Первое слагаемое f₁(x) = (5/2√3)x.
Для нахождения первообразной этого слагаемого, мы можем использовать обычные методы интегрирования функций первой степени. Продолжим:
∫ (5/2√3)x dx = (5/2√3) * ∫ x dx.
Здесь мы можем использовать формулу интегрирования функций первой степени: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:
= (5/2√3) * (x^(1+1)/(1+1)) + C₁.
= (5/2√3) * (x^2/2) + C₁.
Таким образом, первообразная для первого слагаемого будет F₁(x) = (5/2√3) * (x^2/2) + C₁.
- Второе слагаемое f₂(x) = 2.
Поскольку 2 является константой, то его первообразная будет просто 2x.
Итак, первообразная для второго слагаемого будет F₂(x) = 2x.
- Третье слагаемое f₃(x) = 1/sin²(4x).
Это сложно, поэтому мы воспользуемся тригонометрической заменой.
Пусть t = 4x, тогда dt = 4dx и dx = dt/4.
Заменим в нашем уравнении x и dx на t и dt/4 соответственно:
∫ 1/sin²(4x) dx = ∫ 1/sin²(t) * (1/4) dt
= (1/4) * ∫ csc²(t) dt.
Для решения этого интеграла, мы можем использовать интеграл csc²(t) dt = -cot(t) + C₂.
Возвращаемся к нашей переменной x:
∫ 1/sin²(4x) dx = (1/4) * (-cot(4x) + C₂).
Таким образом, первообразная для третьего слагаемого будет F₃(x) = (1/4) * (-cot(4x) + C₂).
3. Собираем все результаты вместе.
Получаем общую первообразную функции f(x):
F(x) = F₁(x) + F₂(x) + F₃(x)
= (5/2√3) * (x^2/2) + 2x + (1/4) * (-cot(4x) + C₁ + C₂).
Окончательный ответ:
F(x) = (5/4√3) * x² + 2x - (1/4) * cot(4x) + C, где С - произвольная постоянная.