Question

Представьте число 27 в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы их произведение было наибольшим, а два слагаемых были пропорциональны числам 1 и 5

Answer 1

Пусть $x\ \textgreater \ 0$, тогда $0\ \textless \ x\ \textless \ 27$

и  $5x\ \textgreater \ 0$;    $27-(x+5x)\ \textgreater \ 0$ - три слагаемые из условия.

рассмотрим функцию $f(x)=x\cdot 5x(27-(x+5x))=135x^2-30x^3$

Находим производную функции f(x)

$f'(x)=(135x^2-30x^3)'=270x-90x^2=0\\ \\ 90x(3-x)=0\\ \\ x_1=0\\ \\ x_2=3$

Найдем наибольшее значение функции на концах отрезка.

$f(0)=0\\ \\ f(3)=135\cdot 3^2-30\cdot 3^3=405~~~~ -\max$

5 * x = 5 * 3 = 15 - второе число.

27 - (3+15)= 9 - третье число.

ОТВЕТ: 27 = 3 + 15 + 9;   3·15·9=405.