Решить неравенство log3(x^2-2x)>1 ОДЗ: x^2-2x>0 x(x-2)>0 + 0 - 0 + !! 0 2 ОДЗ: х принадлежит (-бесконеч;0)U(2;+бесконечн)
log3(x^2-2x)>1 log3(x^2-2x)>log3(3) x^2-2x>3 x^2-2x-3>0 Разложим квадратный трехчлен на множители решив уравнение x^2-2x-3=0 D =4+12=16 x1=(2-4)/2=-1 x2=(2+4)/2=3 x^2-2x-3 =(x+1)(x-3) Запишем неравенство (х+1)(х-3) > 0 Решим неравенство методом интервалов. На числовой оси отобразим знаки левой части неравенства + 0 - 0 + . !! -1 3 . Поэтому неравенство имеет решение если х принадлежит (-бесконеч;-1)U(3;+бесконеч) Решение входит в область ОДЗ ответ:(-бесконеч;-1)U(3;+бесконеч)
ОДЗ x^2 - 3x + 2 не= 0 По теореме Виета х_1 не= 1, х_2 не= 2
-x^2 + 3x + 10 = 0
x^2 - 3x - 10 = 0
По теореме Виета х_1 = 5, х_2 = -2
1) случай. x^2 - 3x + 2 > 0 при x <1, или х > 2
Умножим обе части уравнения на x^2 - 3x + 2 > 0. Знак неравенства
не меняется.
10 + 3x - x^2 < = x^2 - 3x + 2
x^2 + x^2 -3x - 3x + 2 - 10 >= 0
2x^2 - 6x - 8 >= 0 /2
x^2 - 3x - 4 >= 0
x^2 - 3x - 4 = 0
По теореме Виета х_1 = 4, х_2 = -1
Неравенство будет верным при x <= -1 или x >= 4 и учитывая ОДЗ
ПЕРВЫЙ ОТВЕТ. (- бесконечности; -1] U [4; +бесконечности)
2) СЛУЧАЙ. X^2 - 3X + 2 < 0, ПРИ 1 < X < 2
Умножим обе части уравнения на x^2 - 3x + 2 < 0. знак неравенства
поменяем на противоположный.
10 + 3x - x^2 >= x^2 - 3x + 2
x^2 + x^2 - 3x - 3x + 2 - 10 <= 0
2x^2 - 6x - 8 <= 0 \(2)
x^2 - 3x - 4 <= 0 при -1 <= x <= 4 и учитывая ОДЗ
ВТОРОЙ ОТВЕТ. (1; 2)
ответ. (-бесконечности; -1] U (1; 2) U [4; +бесконечности)