Объяснение:
назовем целые положительные числа натуральными
2x²-xy-y²+2x+7y=28 решим уравнение как квадратное относительно х
2x²+x(2-y)+(7y-y²-28)=0
d=(2-y)²-4*2*(7y-y²-28)=4-4y+y²-56y+8y²+224=9y²-60y+228
x₁₋₂=((y-2)±√d)/4
выделим из дискриминанта полный квадрат
d=9y²-60y+228=(3y) ²-2*3y*10+10²-10²+228=(3y-10) ²+128
чтобы корни исходного уравнения были натуральными необходимо чтобы корень из дискриминанта был целым числом
(3y-10) ²+128=a²
Обозначим 3y-10=b
b²+128=a²
a² -b²=128 решим в целых числах
(a-b)(a+b)=128
Сначала решим в натуральных числах
128={1*128;2*64;4*32;8*16;}
Получим системы уравнений которые решим методом сложения
Первая система
a-b=1
a+b=128
решение
2a=129 а-дробное не годится
Вторая система
a-b=2
a+b=64
решение
2a=66; a=33;b=a-2=31;
a=33;b=31
Третья система
a-b=4
a+b=32
решение
2a=36; a=18; b=a-4=14;
a=18;b=14
Четвертая система
a-b=8
a+b=16
решение
2a=24; a=12; b=a-8=4;
a=12;b=4
a=33;b=31
a=18;b=14
a=12;b=4
Для отрицательных чисел
128={-1*(-128);-2*(-64);-4*(-32);-8*(-16);}
Получим такие же ответы только с отрицательными числами
a=-33;b=-31
a=-18;b=-14
a=-12;b=-4
таким образом
b={-4;-14;-31;4;14;31}
вернемся к замене переменных
b=3y-10 тогда
y=(b+10)/3
подставим в эту формулу значения b получим
y={2;-4/3;-7;14/3;8;41/3}
натуральными являются у=2 и y=8
дискриминант = (3y-10) ²+128
d(y₁ )=(3*2-10) ²+128=4²+128=16+128=144
d(y₂)=( (3*8-10) ²+128=14²+128=196+128=324
перейдем к вычислению корней
x₁₋₄=((y-2)±√d)/4
x₁-₂=((y₁-2)±√d(y₁)/4
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4
x₁-₂=((2-2)±√144)/4=(±12)/4 вычисляем только натуральный корень х=3
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4=((8-2)±√324)/4==(6±18)/4= вычисляем только натуральный корень х=6
получаем следующие натуральные решения (3;2) (6;8)
проверка
2x²-xy-y²+2x+7y=28
1)(3;2)
2*3²-3*2-2²+2*3+7*2=18-8-4+8+14= 32-+8+14=28
2) (6;8)
2*6²-6*8-8²+2*6+7*8=2*36-6*8-64+2*6+7*8= 28
Пусть искомое число x, тогда x = 22*p + 14 и x = 17*q + 9; p и q неотрицательные целые числа.
22*p + 14 = 17*q + 9 ;
22*p - 17*q + 5 = 0; решаем последнее ур-е, как ур-е в целых числах, частным решение является (-1; -1)
22*(-1) - 17*(-1) +5 = 0; вычитаем последние 2 равенства:
22*(p+1) - 17*(q+1) = 0;
22*(p+1) = 17*(q+1);
т.к. 22 и 17 взаимно просты, то (q+1) делится нацело на 22, а (p+1) делится нацело на 17;
q+1 = 22*A; p+1 = 17*B;
22*17B = 17*22*A; A=B = t;
q= 22*t - 1;
p= 17*t - 1;
Наименьшее неотрицателные значения p и q , достигаются при t=1;
q=21;
p=16;
x = 22*16 + 14=366;
x = 17*21+ 9=366;
Пусть это чилос х.
Тогад по первому условию:
х=13k+10, где k - какое то натуральное число,
и по второму условию:
х=8l+2, где l - какое то натуральное число.
Для начала сделаем оценку:
х<1000
13k+10<1000
13k<990
k<77
Теперь приравниваем те два равентва:
13k+10=8l+2
13k+8=8l
13k=8(l-1)
Правая часть равенства делится на 8, значит, и левая тоже. Т.к. 13 не кратно 8, то k делится на 8.
Самое большое число k<77 и кратное 8, это k=72
Подставляем в равентсво и получаем, что х=946
Проверкой убеждаемся, что оно подходит.