Задачи с решениями
1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.
Решение
Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
x0 = 1, y0 = 2.
Тогда
5x0 + 7y0 = 19,
откуда
5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,
5(х – x0) = –7(у – y0).
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.
Значит, общее решение:
х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,
где k – произвольное целое число.
ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.
в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:
НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.
Запишем этот процесс в обратном порядке:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =
= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =
= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел
x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536
является решением уравнения 201х – 1999у = 12.
Общее решение этого уравнения запишется в виде
х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,
или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),
х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.
ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.
3. Решить в целых числах уравнение:
а) x3 + y3 = 3333333;
б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).
Решение
а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: целочисленных решений нет.
б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.
ответ: целочисленных решений нет.
4. Решить
а) в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у;
б) в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.
Решение
а) Решим , получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.
ответ: (0; 0; 0; 0).
7. Докажите, что уравнение
(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30
не имеет решений в целых числах.
Решение
Воспользуемся следующим тождеством:
(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(х – у)(y – z)(z – x) = 10.
Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде
abc = 10.
Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.
Решение
Очевидно, что
если х = 1, то у2 = 1,
если х = 3, то у2 = 9.
Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:
х1 = 1, у1 = 1;
х2 = 1, у2 = –1;
х3 = 3, у3 = 3;
х4 = 3, у4 = –3.
Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как
5! + 6! + . . . + х! = 10n,
можем записать, что
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.
Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.
ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).
9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:
a3 – b3 – c3 = 3abc, a2 = 2(b + c).
Решение
Так как
3abc > 0, то a3 > b3 + c3;
таким образом имеем
b < a, c < a.
Складывая эти неравенства, получим, что
b + c < 2a и 2(b + c) < 4a.
С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что
a2 < 4a и а < 4.
Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.
ответ: (2; 1; 1)
10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.
Решение
Р
In the evenings into the city and go clubbing or see a movie. a lot of new friends. my pronunciation is much better already, and almost everything. On weekdays Liam. At the moment on their new website and help with it. some useful stuff about how people business in this country.
to see me? the winter holiday skiing with Ryan and Liam. to meet you and there’s plenty of space. You must bring lots of warm clothes because really cold here in the winter. Let me know as soon as . And tell me what these days.
у=2 х+4-3,569-345 и у=4х-2+334-34