Question

Пусть p такое положительное действительное число, для которого выполнено

равенство p³ = 2(p + 3). Докажите, что уравнение x² + px+ p² = 3 не имеет действительных корней.​

Answer 1

Применим для положительных чисел 2p и 6 неравенство о средних:

$p^3 =2(p+3) = 2p+6 \geq 2\sqrt{12p} \\p^3\geq 2\sqrt{12p} \\p^6\geq 48p\\p^5\geq 48\\p\geq \sqrt[5]{48} \sqrt[5]{32} = 2\\p2\\p^24\\4-p^2$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$x^2 +px +p^2-3 = 0\\D = p^2 -4(p^2-3) = 12-3p^2 = 3(4-p^2) < 0\\$

Вывод: действительных корней нет