Хорошо, рассмотрим уравнение ax^2 - 4x + a + 3 = 0 и найдём условия, при которых оно имеет более одного корня.
Для начала, вспомним основные понятия в теории квадратных уравнений. Квадратное уравнение общего вида имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - это числа, причём a ≠ 0.
Чтобы узнать, сколько корней имеет это уравнение, мы можем воспользоваться дискриминантом, который определяется формулой D = b^2 - 4ac.
Если дискриминант положительный (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень (он является двукратным). Если же дискриминант отрицательный (D < 0), уравнение не имеет действительных корней.
Вернёмся к нашему уравнению ax^2 - 4x + a + 3 = 0. Теперь мы видим, что коэффициент при x^2 равен а, коэффициент при x равен -4, а свободный член равен a + 3.
Применяя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac к нашему уравнению, получаем:
D = (-4)^2 - 4a(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a.
Теперь мы знаем, что у уравнения будут два корня, если D > 0. Значит, нам нужно найти значения a, при которых D будет больше нуля.
Уравнение D > 0 можно решить следующим образом:
16 - 4a^2 - 12a > 0.
Для удобства, можно переписать выражение в более общем виде:
4a^2 + 12a - 16 < 0.
Теперь обратимся к факторизации. Наша цель - определить, при каких значениях a данное неравенство будет выполнено.
Сначала разложим левую часть на множители:
4a^2 + 12a - 16 = (2a - 2)(2a + 8).
Получили два множителя: (2a - 2) и (2a + 8).
Чтобы выражение (2a - 2)(2a + 8) было меньше нуля, один из множителей должен быть отрицательным, а другой - положительным. Давайте рассмотрим два случая:
1. Когда (2a - 2) < 0 и (2a + 8) > 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 < 0 и 2a + 8 > 0.
При решении первого неравенства, получаем a < 1.
При решении второго неравенства, получаем a > -4.
Теперь осталось найти пересечение этих двух интервалов, чтобы найти значения a, удовлетворяющие неравенству.
Из первого неравенства мы знаем, что a < 1.
Из второго неравенства мы знаем, что a > -4.
Исключая значения, которые меньше -4 или больше 1, получаем:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
2. Когда (2a - 2) > 0 и (2a + 8) < 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 > 0 и 2a + 8 < 0.
При решении первого неравенства, получаем a > 1.
При решении второго неравенства, получаем a < -4.
Аналогично первому случаю исключим значения, которые больше 1 или меньше -4 и найдём пересечение интервалов:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
Итак, при значениях a из интервала (-4, 1) уравнение ax^2 - 4x + a + 3 = 0 будет иметь более одного корня.
Рассмотрим данное уравнение:
(х+1)*(х-5)*(х+10) = (х+10)*(х+1)*(х-12)
Чтобы решить его, воспользуемся свойством коммутативности умножения, которое позволяет менять местами множители без изменения результата.
Теперь распишем уравнение:
(х+1)*(х-5)*(х+10) = (х+10)*(х+1)*(х-12)
Cначала умножаем в каждом множестве по двум числам, а затем умножаем получившиеся результаты:
(х^2 - 5х + х - 5) * (х + 10) = (х^2 + 10х + х - 10) * (х - 12)
Теперь раскроем скобки:
(х^2 - 4х - 5) * (х + 10) = (х^2 + 11х - 10) * (х - 12)
Раскроем скобки и перемножим все пары множителей:
х^3 - 4х^2 - 5х + 10х^2 - 40х - 50 = х^3 + 11х^2 - 10х - 12х^2 - 132х + 120
Соберем одинаковые слагаемые:
х^3 - 4х^2 - 5х + 10х^2 - 40х - 50 = х^3 + 11х^2 - 10х - 12х^2 - 132х + 120
х^3 - 4х^2 - 5х + 10х^2 - 40х - 50 - х^3 - 11х^2 + 10х + 12х^2 + 132х - 120 = 0
Таким образом, получаем:
-3х^2 - 39х - 170 = 0
Данное уравнение — квадратное, так как есть переменная х в степени 2. Чтобы найти значения х, решим это квадратное уравнение.
Для начала заменим х на t:
t = х^2
Получаем:
-3t - 39х - 170 = 0
Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a, b и c — коэффициенты перед t в уравнении.
В нашем случае:
a = -3, b = -39, c = -170
D = (-39)^2 - 4*(-3)*(-170) = 1521 - 2040 = -519
Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет реальных корней.
В итоге, уравнение (х+1)*(х-5)*(х+10)=(х+10)*(х+1)*(х-12) не имеет решений.
Это означает, что нет значений х, при которых оба выражения, находящиеся по обе стороны от знака равенства, будут равны.