Question

Чем можете дана функция у = 0,25х ^4- 2х ^2 найдите а) промежутки возрастания и убывания функции б) точки экстреума в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3: 1] г) построить график функции

Answer 1

ДУМАЕМ
Если исследовать, то уж как можно полнее - 
ДАНО
Y= 0.25*x⁴ - 2*x² - функция
ИССЛЕДОВАНИЕ дифференциальными методами.
1. Деления на 0 - нет - функция непрерывная - D(x) - X∈(-∞;+∞).
Вертикальных асимптот - нет.
2. Поведение на бесконечности - наибольшая степень - ЧЕТВЕРТАЯ - график - парабола и более того - положительная - ветви в верх.
 У(-∞) = +∞ и У(+∞) = +∞ - значения одного знака.
Горизонтальных асимптот - нет.
3. Корни функции - точки пересечения с осью Х. Надо решить уравнение
Y= x²*(x²/4 - 2 ) = 4*x²*(x² - 2) = 4*x²*(x-2√2)*(x+2√2) = 0
x₁,₂ = 0, x₃ = -2√2 ≈ -2.28, x₄ = 2√2 ≈ 2.28 - четыре корня - это правильно. 
Интервалы знакопостоянства.
Положительна - Х∈(-∞;-2√2)∪(2√2;+∞)
Отрицательна - X∈(-2√2;0]∪[0;+2√2)
4. Пересечение с осью У - У(0) = 0.
5. Поиск экстремумов по первой производной.  
Y'(x) = x³ - 4*x = x*(x² -4) = x*(x-2)*(x+2) = 0
Корни производной -  точки экстремумов.
Максимум - Y(0) = 0
Два минимума - Y(-2) = Y(2) = -4.
6. Участки монотонности.
Убывает - Х∈(-∞;-2]∪[0;2]. Возрастает - X∈[-2;0]∪[2;+∞)
7. Поиск точек перегиба по второй производной.
Y"(x) = 3*x² - 4 = 0
Корни: x₁ = - √(4/3) ≈ - 1.15, x₂ = - √1.33 ≈ 1.15
8.
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;-1,15)∪(1,15;+∞) - вне корней.
Выпуклая - "горка" - Х∈(-1,15;1,15) - между корнями
9. Рисунок с графиками - в приложении.