Допустим, R(x,y)=xsin(y)+ycos(y) и S(x,y)=xcos(y)-ysin(y). Это не строгое уравнение,т.к. R'(x,y)=xcos(y)-ysin(y)+cos(y)≠cos(y)= dS(x,y). Найдем интегрирующий фактор u(x), такой что u(x)*R(x,y)+u(x)dy* S(x,y)=0. Это означает: (u*R(x,y))'=d(u(x)*S(x,y)):
Допустим, P(x,y)=e^x(xsin(y)+ycos(y)) и Q(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)). Это строгое уравнение,т.к. P'(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)+cos(y))=dQ(x,y). Введем f(x,y), такой что df(x,y)=P(x,y) и f'(x,y)=Q(x,y): Затем, решение будет для f(x,y)=c1, где c1- произвольная переменная. ; где g(y)- некоторая функция от y. Сделаем замену f'(x,y)=Q(x,y): Возьмем g'(y): Подставим g(y) к f(x,y): Получаем решение:
сейчас брату (х) лет, сестре (у) лет... 4 года назад брату было (х-4) лет, сестре (у-4) лет х-4 = 5*(у-4) ---брат старше сестры в 5 раз через 5 лет брату будет (х+5) лет, сестре (у+5) лет х+5 = 2*(у+5) ---брат старше сестры в 2 раза система из двух уравнений... х = 4 + 5у- 20 х = -5 + 2у + 10 5у - 16 = 2у + 5 3у = 21 у = 7 х = 19
ПРОВЕРКА: 4 года назад брату было 19-4 = 15 лет, сестре 7-4 = 3 года брат был старше сестры в 15/3 = 5 раз через 5 лет брату будет 19+5 = 24 года, сестре 7+5 = 12 лет брат будет старше сестры в 24/12 = 2 раза...
;
ответ на прикреплённом файле