Question

Розв'язати рівняння. хоча б 2 приклади​

Answer 1

2.

$xy' + y = {x}^{3}$

разделим на х

$y' + \frac{y}{x} = {x}^{2} \\$

это линейное ДУ. Замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V+ V'U + \frac{UV}{x} = {x}^{2} \\ U'V + U(V' + \frac{V}{x} ) = {x}^{2} \\ \\ 1)V' + \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = - \frac{V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{V} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = - ln(x) \\ V = \frac{1}{x} \\ \\ 2) uv = {x}^{2} \\ \frac{dU}{dx} \times \frac{1}{x} = {x}^{2} \\ U = \int\limits {x}^{3} dx \\ U= \frac{ {x}^{4} }{4} + C\\ \\ y = UV = \frac{1}{x} ( \frac{ {x}^{4} }{4} + C) = \\ = \frac{ {x}^{3} }{4} + \frac{C}{x}$

общее решение

$y(1) = 1 \\$

$1 = \frac{1}{4} + C \\ C = \frac{3}{4}$

$y = \frac{ {x}^{3} }{4} + \frac{3}{4x} \\ y = \frac{ {x}^{4} + 3}{4 x}$

частное решение

3.

$y'' - 2y' - 15y = 0 \\$

замена:

$y = {e}^{kx}$

${e}^{kx} ( {k}^{2} - 2 k - 15) = 0 \\ d = 4 + 60 = 64 \\ k1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \\ k2 = - 3 \\ y = C1 {e}^{5x} + C2 {e}^{ - 3x}$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = - 11$

$y = 5C1 {e}^{5x} - 3 C 2{e}^{ - 3x}$

$1 = C1 + C2 \\ - 11 = 5C1 - 3C2 \\ \\ C1 = 1 - C2 \\ 5 - 5C2 - 3C2 = - 11 \\ \\ - 8C2 = - 16 \\ C2 = 2 \\ \\ C1 = 1 - 2 = - 1$

$y = - {e}^{5x} + 2 {e}^{ - 3x}$

частное решение

4.

$y''' - 3y'' + 2y' = 0$

замена:

$y = {e}^{ kx} \\ {k}^{3} - 3 {k}^{2} + 2k = 0 \\ k( {k}^{2} - 3k + 2) = 0 \\ k1 = 0 \\ {k}^{2} - 3k + 2 = 0 \\ d = 9 - 8 = 1 \\ k1 = 2 \\ k2 = 1 \\ \\ y = C1 + C {e}^{2x} + C3 {e}^{x}$

5.

$y'' - 4y' + 5y = 0$

${k}^{2} - 4k + 5 = 0 \\ d = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ \\ y = {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2 \cos(x))$

общее решение