Question

Решите уравнение: (x-3)4+2(3-x)2=3 методом замены переменной

Answer 1

$3-i\sqrt{3}, \quad 3+i\sqrt{3}, \quad2, \quad 4.$

Объяснение:

$(x-3)^{4}+2(3-x)^{2}=3;$

$((x-3)^{2})^{2}+2(x-3)^{2}-3=0;$

Вводим замену:

$t=(x-3)^{2};$

Переписываем уравнение с учётом замены:

$t^{2}+2t-3=0;$

Решаем уравнение по теореме Виета:

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-2} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=-3} \atop {t_{2}=1}} \right.$

Вернёмся к замене:

$(x-3)^{2}=-3 \quad \vee \quad (x-3)^{2}=1;$

$x-3= \pm \sqrt{-3} \quad \vee \quad x-3=\pm \sqrt{1};$

$x=3 \pm i\sqrt{3} \quad \vee \quad x=3 \pm 1;$

$x_{1}=3-i\sqrt{3} \quad \vee \quad x_{2}=3+i\sqrt{3} \quad \vee \quad x_{3}=2 \quad \vee \quad x_{4}=4;$