Question

Найти все корни уравнения cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0, удовлетворяющие неравенству tgx>0.

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0$, ОДЗ: $x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi.\;m\in Z$

Попробуем решить это уравнение относительно тангенса:

$cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0\\(1 + cos x)tg^2x+(cosx-1)=0\\D=0-4(cosx-1)(1+cosx)=4(1-cosx)(1+cosx)=4(1-cos^2x)=\\=4sin^2x\\\sqrt{D}=2sinx$

Тогда получили два случая:

$tgx=\dfrac{sinx}{1+cosx}$ или $tgx=-\dfrac{sinx}{1+cosx}$

Применив формулу для тангенса половинного угла, получим:

$tgx=tg\dfrac{x}{2}$ или $tgx=-tg\dfrac{x}{2}$

Применив формулы суммы и разности тангенсов и выполнив очевидные преобразования, получим:

$sin\dfrac{x}{2}=0$ или $sin\dfrac{3x}{2}=0$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) $sin\dfrac{x}{2}=0,\;=\;x=2n\pi,\;n\in Z$

2) $sin\dfrac{3x}{2}=0,\;=\;x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Окончательное решение уравнения с учетом ОДЗ:

$x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Найдем теперь корни уравнения, которые удовлетворяют неравенству $tgx0$:

$x=\dfrac{4\pi}{3}+2l\pi,\;l\in Z$

Задание выполнено!

Комментарий:

Замечу, что исходное уравнение можно упростить до вида:

$2cos^2x-cosx-1=0$

Откуда хорошо видно, что его корень:

$x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Такое решение также является допустимым.