Question

Выразите симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.
а) 4х² – 5xy +4y²;
г) 2x⁴ + 2x²у² + 2y⁴ - х - у.​

Answer 1

Добрый день! Давайте разберем ваши вопросы по порядку.

а) Для выражения симметрического многочлена 4х² – 5xy + 4y² через элементарные симметрические многочлены, мы используем формулы Виета. В данном случае, элементарные симметрические многочлены это сумма коэффициентов при одночленах и произведениями попарно различных одночленов.

Первый элементарный симметрический многочлен это сумма корней уравнения, в данном случае это x + y.
Второй элементарный симметрический многочлен это произведение корней уравнения, в данном случае это xy.

Теперь мы можем выразить исходный симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены следующим образом:

4х² – 5xy + 4y² = (x + y)² - 2xy = (x + y)² - 2(xy).

г) Для выражения симметрического многочлена 2x⁴ + 2x²y² + 2y⁴ - х - у через элементарные симметрические многочлены мы также будем использовать формулы Виета.

Первый элементарный симметрический многочлен это сумма корней уравнения, в данном случае это x + y.
Второй элементарный симметрический многочлен это произведение корней уравнения, в данном случае это xy.
Третий элементарный симметрический многочлен это сумма произведений попарно различных пар корней, в данном случае это x² + y².

Теперь мы можем выразить исходный симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены следующим образом:

2x⁴ + 2x²y² + 2y⁴ - х - у = (x + y)⁴ - (x² + y²)(2xy - 1).

Таким образом, мы выразили симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены, используя формулы Виета и факторизацию исходного многочлена.

Пожалуйста, если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь вам разобраться в математических вопросах.