Чтобы найти решение системы уравнений, нужно найти значения x и y, которые подставлены в оба уравнения и оба уравнения равны между собой.
Сначала решим первое уравнение x^2— y^2 = 15. Чтобы решить это квадратное уравнение, сначала приведем его к каноническому виду. Для этого разделим каждый член уравнения на -1:
-x^2 + y^2 = -15
Затем мы можем применить разность квадратов:
(x+y)(x-y) = -15
Теперь решим второе уравнение ху — у = -3. Мы можем выразить одну из переменных через другую:
у(x - 1) = -3
у = -3/(х - 1)
Теперь мы можем подставить это значение у в первое уравнение:
(x+(-3/(х - 1)))(x-(-3/(х - 1))) = -15
С начала упростим выражение в скобках:
(x-(3/(х - 1)))(x+(3/(х - 1))) = -15
Чтобы продолжить упрощение, мы можем перемножить числитель и знаменатель:
((x(х - 1) - 3)(x(х - 1) + 3)) = -15(х - 1)
(x^2 - x - 3)(x^2 - x + 3) = -15x + 15
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Умножим каждый член на (-1) для удобства:
(-x^2 + x + 3)(-x^2 + x - 3) = 15x - 15
После раскрытия скобок, получим:
x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x + 9 = 15x - 15
Перенесем все члены в левую сторону:
x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 13x + 24 = 0
Далее, нам потребуется использовать численные методы для решения этого уравнения. Вручную найти рациональные корни этого уравнения достаточно сложно.
Рассмотрим варианты чисел из того множества, которое дано в задаче, и убедимся, какие из пар чисел являются решением этой системы уравнений.
1. Подставим (-4; 1) в оба уравнения:
(-4)^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15 (правая часть первого уравнения, верно)
(-4*1) - 1 = -4 - 1 = -5 (правая часть второго уравнения, не верно)
2. Подставим (4; -1) в оба уравнения:
(4)^2 - (-1)^2 = 16 - 1 =15 (правая часть первого уравнение, верно)
(4*(-1)) - (-1) = -4 + 1 = -3 (правая часть второго уравнения, верно)
3. Подставим (1; -4) в оба уравнения:
(1)^2 - (-4)^2 = 1 - 16 = -15 (правая часть первого уравнение, не верно)
(1*(-4)) - (-4) = -4 + 4 = 0 (правая часть второго уравнения, не верно)
4. Подставим (-1; 4) в оба уравнения:
(-1)^2 - (4)^2 = 1 - 16 = -15 (правая часть первого уравнение, не верно)
(-1*4) - (4) = -4 - 4 = -8 (правая часть второго уравнения, не верно)
Таким образом, единственной парой чисел, являющейся решением системы уравнений, является (4; -1).
Сначала решим первое уравнение x^2— y^2 = 15. Чтобы решить это квадратное уравнение, сначала приведем его к каноническому виду. Для этого разделим каждый член уравнения на -1:
-x^2 + y^2 = -15
Затем мы можем применить разность квадратов:
(x+y)(x-y) = -15
Теперь решим второе уравнение ху — у = -3. Мы можем выразить одну из переменных через другую:
у(x - 1) = -3
у = -3/(х - 1)
Теперь мы можем подставить это значение у в первое уравнение:
(x+(-3/(х - 1)))(x-(-3/(х - 1))) = -15
С начала упростим выражение в скобках:
(x-(3/(х - 1)))(x+(3/(х - 1))) = -15
Чтобы продолжить упрощение, мы можем перемножить числитель и знаменатель:
((x(х - 1) - 3)(x(х - 1) + 3)) = -15(х - 1)
(x^2 - x - 3)(x^2 - x + 3) = -15x + 15
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Умножим каждый член на (-1) для удобства:
(-x^2 + x + 3)(-x^2 + x - 3) = 15x - 15
После раскрытия скобок, получим:
x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x + 9 = 15x - 15
Перенесем все члены в левую сторону:
x^4 - 2x^3 - 2x^2 - 13x + 24 = 0
Далее, нам потребуется использовать численные методы для решения этого уравнения. Вручную найти рациональные корни этого уравнения достаточно сложно.
Рассмотрим варианты чисел из того множества, которое дано в задаче, и убедимся, какие из пар чисел являются решением этой системы уравнений.
1. Подставим (-4; 1) в оба уравнения:
(-4)^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15 (правая часть первого уравнения, верно)
(-4*1) - 1 = -4 - 1 = -5 (правая часть второго уравнения, не верно)
2. Подставим (4; -1) в оба уравнения:
(4)^2 - (-1)^2 = 16 - 1 =15 (правая часть первого уравнение, верно)
(4*(-1)) - (-1) = -4 + 1 = -3 (правая часть второго уравнения, верно)
3. Подставим (1; -4) в оба уравнения:
(1)^2 - (-4)^2 = 1 - 16 = -15 (правая часть первого уравнение, не верно)
(1*(-4)) - (-4) = -4 + 4 = 0 (правая часть второго уравнения, не верно)
4. Подставим (-1; 4) в оба уравнения:
(-1)^2 - (4)^2 = 1 - 16 = -15 (правая часть первого уравнение, не верно)
(-1*4) - (4) = -4 - 4 = -8 (правая часть второго уравнения, не верно)
Таким образом, единственной парой чисел, являющейся решением системы уравнений, является (4; -1).