Условие
x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Решение 1
Докажем неравенство индукцией по n.
База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.
Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x)n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.
Решение 2
Пусть a > 1. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)a – ax – 1, определенную при x > –1. Ее производная f'(x) = a(1 + x)a–1 – a = a((1 + x)a–1 – 1) положительна при x > 0 и отрицательна при –1 < x < 0. Следовательно, f(x) ≥ f(0) = 0 на всей области определения.
Замечания
1. Неравенство превращается в равенство не только при n = 1, но и при x = 0 . В остальных случаях оно строгое.
2. При x ≥ 0 (такое ограничение дано в источнике) неравенство Бернулли сразу следует из формулы бинома: (1 + x)n = 1 + nx + ... .
3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.
10 (км/час) - собственная скорость катера.
Объяснение:
Катер с туристами из лагеря идет до экскурсионной остановки 63 км по течению реки и после экскурсии возвращается назад к лагерю. Найди собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч, экскурсия длится 3 часа, а в лагерь катер приходит через 18 часов после того, как покидает его.
Время катера в пути 18-3=15 (часов).
Формула движения: S=v*t
S - расстояние v - скорость t – время
х - собственная скорость катера.
х+4 - скорость катера по течению.
х-4 - скорость катера против течения.
63/(х+4) - время катера по течению.
63/(х-4) - время катера против течения.
Согласно условию задачи уравнение:
63/(х+4) + 63/(х-4) = 15
Общий знаменатель (х-4)(х+4), надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
63*(х-4) + 63*(х+4) = 15*(х²-16)
63х-252+63х+252=15х²-240
Приводим подобные члены:
-15х²+126х+240=0
Разделить уравнение (все части) на -15 для упрощения:
х²-8,4х-16=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac =70,56+64=134,56 √D= 11,6
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(8,4-11,6)/2
х₁= -3,2/2= -1,6 - отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(8,4+11,6)/2
х₂=20/2
х₂=10 (км/час) - собственная скорость катера.
Проверка:
63/14+63/6=630/42=15, верно.
В1.
Предположим, что b6=a b7=x b8=c. получаем геометрическую последовательность
234, а, х, с, 3744
Тогда по свойству геометрической прогрессии (квадрат каждого члена равен произведению предшествующего и последующего членов)получаем, что
х=корень из а*с
а=корень из 234*х
с=корень из 3744*х
тогда х=корень из 3744*234=корень из 876096=936
а=корень из 234*936=корень из 219024=468
с=корень из 936*2744=корень из 3504384=1872
ответ: b6=468, b7=936, b8=1872